Қозғалыс, деформация және деформация өлшемдері¶

Бастапқы және ағымдағы конфигурациялар¶

Конфигурациялардың анықтамасы¶

Физикалық шаманы қай күйге қатысты сипаттайтынын ажырату үшін бұл нұсқаулықта екі конфигурация қолданылады.

Бастапқы конфигурация (reference configuration): талдау басталған сәттегі (\(0\) уақытындағы) деформацияланбаған пішін (бастапқы күй деп те аталады). Бастапқы конфигурациядағы нүкте материалдық координатамен \(\boldsymbol{X}\) белгіленеді, көлемі \(V\), беті \(S\).
Ағымдағы конфигурация (current configuration): \(t\) уақытындағы деформациядан кейінгі пішін. Ағымдағы конфигурациядағы нүкте кеңістіктік координатамен \(\boldsymbol{x}\) белгіленеді, көлемі \(v\), беті \(s\).

Қозғалыс осы екі конфигурация арасындағы \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) бейнелеуімен өрнектеледі, ал орын ауыстыру \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) түрінде анықталады.

Конфигурацияға тәуелді таңбалау ережесі (бас/кіші әріп)¶

Физикалық шаманың қай конфигурацияға тиесілі екені таңбаның бас немесе кіші әріппен жазылуы арқылы ажыратылады.

Бастапқы конфигурацияға жататын шамалар бас әріптермен белгіленеді (мысалы: \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Ағымдағы конфигурацияға жататын шамалар кіші әріптермен белгіленеді (мысалы: \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Бірінші Piola-Kirchhoff кернеуі \(\boldsymbol{P}\) сияқты екі конфигурацияны байланыстыратын шамалар үшін дәстүрлі белгілеу қолданылады және мәтінде қажетті жерде түсіндіріледі.
Кіші деформация теориясында екі конфигурацияның айырмасы жойылатындықтан, тек кіші әріптер (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) қолданылады.

Бастапқы және ағымдағы конфигурация градиенттері¶

Кеңістіктік туынды қай конфигурацияға қатысты алынатынына байланысты белгілеуі мен мағынасы өзгереді.

Бастапқы конфигурация градиенті \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): материалдық координаталар бойынша градиент. Мысалы: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Ағымдағы конфигурация градиенті \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): кеңістіктік координаталар бойынша градиент. Мысалы: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Екеуі \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) қатынасымен байланысады. Уақыт бойынша туынды белгілеуі (материалдық уақыт туындысы \(\dot{(\cdot)}\)) үшін Тензорлық белгілеу және математикалық негіздер бөлімін қараңыз.

Қозғалысты сипаттау¶

Қозғалыс бейнелеуі және материалдық/кеңістіктік сипаттама¶

Үздіксіз ортаны \(0\) уақытындағы \(\boldsymbol{X}\) орны арқылы таңбаланған материалдық нүктелер жиыны деп қарастырсақ, қозғалыс \(\boldsymbol{X}\) материалдық нүктесіне \(t\) уақытындағы \(\boldsymbol{x}\) орнын сәйкестендіретін \(\phi\) бейнелеуі арқылы

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

түрінде өрнектеледі. Бастапқы конфигурация бастапқы күй ретінде алынатын ережеде \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Тәуелсіз айнымалыны таңдауға қарай сипаттаудың екі түрі ажыратылады.

Материалдық сипаттама (Lagrange сипаттамасы): физикалық шамаларды \((\boldsymbol{X}, t)\) функциясы ретінде өрнектейді. Қатты дене механикасында бастапқы конфигурация бекітілген пішін ретінде берілетіндіктен, бұл табиғи таңдау.
Кеңістіктік сипаттама (Euler сипаттамасы): физикалық шамаларды \((\boldsymbol{x}, t)\) функциясы ретінде өрнектейді. Сұйықтық механикасында стандартты түрде қолданылады.

FrontISTR құрылымдық талдауы негізінен материалдық сипаттамаға сүйенеді, бірақ Updated Lagrange әдісінде ағымдағы конфигурация жаңа бастапқы конфигурация ретінде пайдаланылатындықтан, кеңістіктік сипаттамадағы шамалар да қолданылады.

Орын ауыстыру, жылдамдық және үдеу¶

Орын ауыстыру \(\boldsymbol{u}\) алдыңғы бөлімдегідей \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) түрінде анықталады. Оның шамасына ешқандай жорамал жасалмайды және ақырлы деформациялар да қамтылады. Жылдамдық пен үдеу векторлары материалдық нүктені бекіткендегі \(\boldsymbol{u}\) шамасының материалдық уақыт туындылары ретінде

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

түрінде анықталады.

Деформация градиенті және деформация тензорлары¶

Деформация градиентінің тензоры¶

Ақырлы деформациялар континуум механикасындағы негізгі шама — деформация градиентінің тензоры \(\boldsymbol{F}\). Ол бастапқы конфигурациядағы \(d\boldsymbol{X}\) шағын кесіндісін ағымдағы конфигурациядағы \(d\boldsymbol{x}\) кесіндісіне бейнелейтін сызықтық түрлендіру және қозғалыс бейнелеуінің материалдық координаталар бойынша градиенті ретінде

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

түрінде анықталады (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). Деформация жоқ күйде \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) деформация мен кернеуді анықтауда және конфигурациялар арасындағы физикалық шамаларды түрлендіруде кең қолданылады.

Көлем өзгерісінің қатынасы¶

Бастапқы конфигурациядағы \(dV\) шағын көлемінің ағымдағы конфигурациядағы \(dv\) шағын көлеміне қатынасы көлем өзгерісінің қатынасы \(J\) деп аталады және

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

түрінде беріледі. Континуумның қайтымдылығы шарты бойынша \(J > 0\) деп қабылданады. Массаның сақталу заңы \(\rho_0 = J\rho\) түрінде жазылады.

Оң және сол Cauchy-Green деформация тензорлары¶

Деформация градиенті \(\boldsymbol{F}\) қатты дене айналуын қамтитындықтан, деформацияның өзін сипаттайтын өлшем үшін қатты дене айналуынан тәуелсіз шама қолданылады. Оң Cauchy-Green деформация тензоры \(\boldsymbol{C}\) (бастапқы конфигурация) және сол Cauchy-Green деформация тензоры \(\boldsymbol{b}\) (ағымдағы конфигурация)

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

түрінде анықталады. Екеуі де симметриялық тензорлар және бірдей меншікті мәндерге (негізгі созылу қатынастарының квадраттарына) ие. Гиперсерпімді деформация энергиясы функциясының негізгі инварианттары осы тензорлар арқылы беріледі.

Деформация тензорлары¶

Green-Lagrange деформация тензоры¶

Бастапқы конфигурацияға қатысты деформация өлшемі ретінде Green-Lagrange деформация тензоры \(\boldsymbol{E}\)

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

түрінде анықталады. Ол бастапқы конфигурациядағы шағын векторлардың скаляр көбейтіндісінің өзгерісін білдіретін симметриялық тензор, қатты дене айналуына инвариантты және деформация жоқ күйде \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) қолдансақ,

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

орын ауыстыру градиентінің бірінші және екінші ретті мүшелерінің қосындысы түрінде алынады; екінші ретті мүше геометриялық сызықтық еместікті білдіреді. Total Lagrange әдісінде ол кернеумен қосарланған \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) жұбы ретінде қолданылады.

Almansi деформация тензоры¶

Ағымдағы конфигурацияға қатысты деформация өлшемі ретінде Almansi деформация тензоры \(\boldsymbol{e}\)

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

түрінде анықталады. Ол Green-Lagrange деформациясымен \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back) қатынасы арқылы байланысады.

Кіші деформация тензоры¶

Орын ауыстыру градиенті кіші болғанда (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange деформациясының екінші ретті мүшесін елемеуге болады, әрі екі конфигурация арасындағы айырмашылық жойылады. Нәтижесінде кеңістіктік координаталар бойынша градиентпен жазылған кіші деформация тензорына \(\boldsymbol{\varepsilon}\) келеміз:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR-дің сызықтық статикалық талдауында, модальдық талдауында, жиіліктік жауап талдауында және сызықтық динамикалық талдауында осы деформация өлшемі қолданылады. Ақырлы деформация талдауында Total Lagrange әдісі \(\boldsymbol{E}\) шамасын, ал Updated Lagrange әдісі ағымдағы конфигурацияға қатысты деформация жылдамдығы тензорын \(\boldsymbol{D}\) қолданады.