Жетілдірілген элемент тұжырымдамалары¶

Үшөлшемді қатты дене элементтерінің тұжырымдалуы бөлімінде берілген орын ауыстыруға негізделген стандартты тұжырымдама сығылмайтындыққа жақын материалдарға немесе иілу басым жұқа қабырғалы құрылымдарға қолданылғанда көлемдік және ығысулық локинг деп аталатын негізсіз артық қаттылықты көрсетеді. Мұны болдырмау үшін FrontISTR B матрицасының немесе деформация градиентінің тек көлемдік бөлігін алмастыратын B-bar және F-bar әдістерін, ішкі еркіндік дәрежелерін енгізетін үйлеспейтін элементтерді, қысымды тәуелсіз белгісіз өріс ретінде қарастыратын u-p аралас элементтерді, сондай-ақ тақта және арқалық құрылымдарына арналған MITC қабықша және арқалық элементтерін ұсынады.

Бұл тарауда осы жетілдірілген және құрылымдық элементтердің тұжырымдалуы элементтер бойынша жүйеленеді.

B-bar әдісі¶

8 түйінді сызықтық гексаэдр элементін квазисығылмайтын материалға қолданғанда бір элемент ішіндегі деформация тұрақты көлем шартын қанағаттандыра алмай, көлемдік локинг деп аталатын артық қаттылық пайда болады. B-bar әдісі B матрицасының көлемдік ұлғаюға үлес қосатын компоненттерін элемент центрінде есептелген мәндермен алмастырып, артық шектеуді жұмсартады [Hughes1980].

Элемент центрінде \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) пішін функцияларының кеңістіктік туындыларынан есептелген B матрицасын \(\bar{\boldsymbol{B}}\), ал \(\boldsymbol{r}\) интегралдау нүктесінде есептелген кәдімгі B матрицасын \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) деп белгілейік. \(\alpha\) түйінінің \(i\) еркіндік дәрежесіне арналған орын ауыстыру–деформация қатынасында көлемдік деформация компоненттеріне \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\)

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

қосылады, ал ығысу компоненттеріне \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) кәдімгі \(\boldsymbol{B}\) қолданылады. Осылай алынған B-bar матрицасымен элемент қаттылығы мен ішкі күш векторы құрастырылады.

FrontISTR бұл тұжырымдаманы тек 8 түйінді сызықтық гексаэдрге (элемент ID 361, Элемент нөмірлеу жүйесі) ұсынады және оны кіші деформация, Total Lagrange және Updated Lagrange жағдайларының бәріне қолдануға болады.

F-bar әдісі¶

Шекті деформация кезінде көлем өзгерісі деформация градиенті \(\boldsymbol{F}\) арқылы сызықтық емес әсер ететіндіктен, B-bar әдісіне ұқсас көлемдік локинг-ті болдырмау деформация градиенті деңгейінде орындалатын әдіс — F-bar әдісі [deSouzaNeto1996].

Элемент центрінде \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) есептелген деформация градиентінің көлемдік қатынасын \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), ал интегралдау нүктесіндегі көлемдік қатынасты \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) деп алып, интегралдау нүктесінің деформация градиентін

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

түрінде алмастырады. Нәтижесінде \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) болып, элементтің бүкіл аймағында көлемдік қатынас элемент центріндегі мәнге теңестіріледі. Кернеуді бағалау және деформация–орын ауыстыру матрицасын құру үшін алмастырылған \(\bar{\boldsymbol{F}}\) қолданылады, ал элемент қаттылығында осы алмастыруға байланысты қосымша мүшелерді қамтитын жанама матрица құрастырылады.

FrontISTR жүйесінде F-bar әдісі тек 8 түйінді сызықтық гексаэдр үшін іске асырылған және кіші деформацияға да, Total Lagrange / Updated Lagrange сызықтық емес геометриясының екеуіне де қолданылады.

Үйлеспейтін элемент¶

8 түйінді сызықтық гексаэдр элементінде иілу модасына қажетті деформация еркіндік дәрежелері жеткіліксіз болғандықтан, иілу басым есептерде иілу локинг-і байқалады. Үйлеспейтін элемент [Taylor1976] бұл кемшілікті өтеу үшін элемент ішіне қосымша орын ауыстыру модаларын енгізеді.

Элементтің түйіндік орын ауыстыруларына \(\boldsymbol{u}^e\) қосымша, тек элемент ішінде болатын үйлеспейтін мода еркіндік дәрежелері \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) әр элементке 3 бағыт × 3 мода ретінде енгізіліп, орын ауыстыру өрісі

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

арқылы жуықталады. Үйлеспейтін пішін функциялары табиғи координаттар \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) үшін \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) деп алынады. Олар элемент шекарасында үздіксіздікке кепілдік бермейді, бірақ элемент ішінде иілу модасының деформациясын бейнелейтін кеңістікті қосады.

Элемент қаттылығы сыртқы және ішкі еркіндік дәрежелері бойынша блоктық жіктеуде

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

түрінде құрастырылғаннан кейін ішкі еркіндік дәрежелері \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) арқылы жойылатын статикалық конденсация орындалып, тек сыртқы еркіндік дәрежелері бар элемент қаттылығы

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

жалпы құрастыруға беріледі.

FrontISTR жүйесінде үйлеспейтін элемент тек 8 түйінді сызықтық гексаэдрге (C3D8IC) арналған және кіші деформация, Total Lagrange және Updated Lagrange жағдайларының бәріне қолданылады.

U-P аралас элемент¶

B-bar және F-bar әдістері орын ауыстыруға негізделген шеңбер ішінде көлемдік компонентті түзетсе, u-p аралас (U-P) элементі қысымды \(\lambda\) орын ауыстырудан тәуелсіз белгісіз өріс ретінде енгізетін аралас тұжырымдама [Bathe1996]. Квазисығылмайтын материалдарда (Пуассон коэффициенті 0.5-ке өте жақын резеңке тәрізді материалдар немесе пластикалық деформациядан кейінгі металдар сияқты) тек орын ауыстыру өрісімен тұрақты көлем шартын қанағаттандыруға тырысқанда көлемдік локинг пайда болады; қысымды тәуелсіз айнымалы ету бұл шектеуді жұмсартады.

Кернеуді девиаторлық компонент пен қысымға бөліп,

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

деп жазамыз. Мұндағы \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) — серпімділік матрицасынан көлемдік модуль \(K\)-ға пропорционал көлемдік бөлік алынған девиаторлық серпімділік матрицасы. Қысым \(\lambda\) мен көлемдік деформация \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) сығылғыштық \(\alpha^{-1} = 1/K\) арқылы берілетін шектеу шартымен

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

байланысады. Орын ауыстыру \(\boldsymbol{u}\) мен қысым \(\lambda\) белгісіздері бойынша дискреттеуден элементтік біріккен теңдеулер жүйесі

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

алынады. Мұнда \(\mathbf{K}_{uu}\) — девиаторлық серпімді компонент және (шекті деформацияда) геометриялық қаттылық, \(\mathbf{K}_{up}\) — көлемдік деформация мен қысымды байланыстыратын матрица, ал \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) — қысымды тұрақтандыру мүшесі (\(\boldsymbol{N}_p\) — қысымның пішін функциясы). Қысым еркіндік дәрежелері элемент ішінде тұйық болғандықтан,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

түрінде статикалық конденсация орындалып, жалпы құрастыруға тек сыртқы (орын ауыстыру) еркіндік дәрежелеріне арналған тиімді қаттылық беріледі.

FrontISTR жүйесінде U-P элементі тек 8 түйінді сызықтық гексаэдр үшін іске асырылған; қысымның әр элементке бір еркіндік дәрежесі бар (элемент ішінде тұрақты). Ол кіші деформацияға, Total Lagrange және Updated Lagrange жағдайларының бәріне қолданылады. Updated Lagrange жағдайында девиаторлық кернеу объектив кернеу жылдамдығымен (Jaumann / Hughes-Winget түрі) жаңартылғаннан кейін, қысым \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) статикалық конденсациядан алынған мәнмен енгізіледі.

Қабықша элементтері¶

Жұқа қабырғалы пластина-қабықша құрылымдары үшін Reissner-Mindlin пластина-қабықша теориясына негізделген қабықша элементтері қолданылады. Төмен ретті орын ауыстыруға негізделген пластина-қабықша элементтерінде қалыңдық азайған сайын көлденең ығысу деформациясы көлемдік локинг-ке ұқсас механизммен (ығысулық локинг) артық бағаланып, иілу модасына қатысты қаттылық шамадан тыс өседі. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) әдісі [Dvorkin1984] [Bathe1986] тек ығысу деформациясының компоненттерін элемент ішіндегі алдын ала анықталған байлау нүктелерінде қайта үлгілеп, сол үлгі мәндерін элемент ішіне қайта интерполяциялау арқылы бұл мәселені болдырмайды.

MITC қабықша элементінің түйіндері қисық беттің ортаңғы бетінде орналасады; әр түйінде 3 ілгерілемелі компонент пен ортаңғы бет нормаліне қатысты 3 айналу компонентінен тұратын 6 еркіндік дәрежесі бар. Элемент қаттылығы ортаңғы беттің табиғи координаттары мен қалыңдық бағыты бойынша барлығы үшөлшемді Гаусс интегралдауы арқылы есептеледі, ал пластина қалыңдығы \(h\) конститутивтік заңды есептеу кезінде элемент қасиеті ретінде беріледі.

FrontISTR ортаңғы бетте бір қабат ретінде қарастырылатын MITC3 (элемент ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743) және қалыңдық бағыты бойынша түйіндері екі қабатқа орналасқан қабатты қабықша элементтерін — MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 түйін, әр түйінде 3 еркіндік дәрежесі) және MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 түйін, әр түйінде 3 еркіндік дәрежесі) ұсынады. Қабатты қабықша элементтерінде түйіндерде тек 3 ілгерілемелі еркіндік дәрежесі болады, ал айналу еркіндік дәрежелеріне сәйкес иілу модасы екі қабатты орналасумен бейнеленеді.

Арқалық элементтері¶

Беларқа, қаңқа сияқты сызықтық құрылымдар арқалық элементтерімен дискреттеледі. FrontISTR ығысу деформациясын ескеретін Timoshenko арқалық тұжырымдамасын қолданады және иілу мен ығысуды орын ауыстыру және айналу еркіндік дәрежелерінің функциялары ретінде сипаттайды.

Арқалық элементінің түйінінде 3 ілгерілемелі компонент пен бойлық және көлденең осьтерге қатысты 3 айналу компонентінен тұратын 6 еркіндік дәрежесі бар; элемент қаттылығы арқалық осі бойындағы бірөлшемді сандық интегралдау арқылы есептеледі. Көлденең қиманың ауданы \(A\) және иілу мен бұралу бағыттарындағы қиманың екінші моменттері \(I\) арқалықтың қима тұрақтылары ретінде элемент қасиеттеріне беріледі және материалдың бойлық серпімділік модулі \(E\) мен ығысу модулі \(G\) бірге созылу, иілу, бұралу және ығысу қаттылық коэффициенттерін құрайды.

FrontISTR 2 түйінді түзу арқалық элементін (элемент ID 611) және 3 түйінмен бейнеленетін 4 түйінді тетраэдрлік қатты дене–арқалық гибрид элементін (641, еркіндік дәрежелерін араластыруға арналған) ұсынады.

Қатысты бөлімдер¶

Үшөлшемді қатты дене элементтерінің тұжырымдалуы — стандартты тұжырымдамамен салыстыру
Элемент нөмірлеу жүйесі және пішін функциялары кітапханасы — элемент түрінің ID
Элементтер кітапханасы (функциялар) — әр элементті таңдау нұсқаулығы