3D тұтас элементтерге арналған пішін функциялары¶

Бұл тарауда FrontISTR тұтас ортаны талдауда пайдаланатын үшөлшемді тұтас элементтер үшін Пішін функциялары және ақырлы элементтік жуықтау бөлімінде енгізілген \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) пішін функцияларының табиғи координаталар жүйелері мен айқын өрнектері жинақталған. Алты элемент түрі: бірінші/екінші ретті тетраэдрлер (341/342), бірінші/екінші ретті үшбұрышты призмалар (351/352) және бірінші/екінші ретті гексаэдрлер (361/362). HEC-MW тор пішіміндегі түйіндердің реті мен бет нөмірлерін функциялар анықтамасындағы Элементтер кітапханасынан қараңыз.

Осы пішін функциялары мен Якобиан анықтауышы бойынша элементтік интегралдауды құру процедурасы Сандық интегралдау бөліміне сәйкес келеді. 361 элементіне арналған B-bar, F-bar және үйлесімсіз тұжырымдар, сондай-ақ арқалық және қабықша элементтерінің пішін функциялары Жетілдірілген элементтік тұжырымдар бөлімінде қарастырылады.

Табиғи координаталар жүйелері және ішкі түйіндер реті¶

Пішін функциялары әр элементтің \(\boldsymbol{r}\) табиғи координаталарында анықталады. Үшөлшемді тұтас элементтер элемент пішініне қарай төмендегі үш табиғи координаталар жүйесін пайдаланады.

Гексаэдрлер (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
Тетраэдрлер (341/342): көлемдік координаталар \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), мұнда \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) және \(L_i \ge 0\). \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) тәуелсіз айнымалылар ретінде алынса, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
Үшбұрышты призмалар (351/352): табан үшбұрышының көлемдік координаталары \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) осьтік \(\zeta \in [-1, 1]\) координатасымен біріктіріліп, \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) құрайды. Қосымша \(a = 1 - \xi - \eta\) шамасы табандағы үшінші көлемдік координата ретінде пайдаланылады.

Бірінші ретті элементтер үшін HEC-MW кіріс пішіміндегі элемент түйіндерінің нөмірленуі ішкі пішіммен бірдей. Екінші ретті элементтерде қабырға ортасындағы түйіндерді орналастыру келісімдері өзгеше. FrontISTR HEC-MW пішімін кіріс ретінде қабылдайды (алдымен бұрыштық түйіндер элемент бойымен тізіледі, одан кейін қабырға ортасындағы түйіндер 1-2, 2-3, … қабырғаларының ретімен беріледі), ал элементтер кітапханасындағы пішін функциялары басқа түйін реті қабылданған түрде іске асырылған.

Екі пішім арасындағы айырмашылық тор кірісінен кейін бірден шақырылатын hecmw2fstr_mesh_conv арқылы шешіледі; ол әр элементтің түйіндерін қайта реттейді. Үшөлшемді тұтас элементтер арасында төмендегі екі түр түрлендіріледі.

Элемент түрі	Түрлендіру кестесі	Сипаттама
342 (екінші ретті тетраэдр)	`Table342`	10 түйінді \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\) ретіне ауыстырады
352 (екінші ретті үшбұрышты призма)	`Table352`	15 түйінді \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\) ретіне ауыстырады

Қайта реттеу элемент байланыстылығын сақтайтын массивте тікелей орындалатындықтан, элементтер кітапханасына кейінгі барлық шақырулар FrontISTR ішкі түйін ретін пайдаланады. Екінші ретті 362 гексаэдрлік элементі үшін түрлендіру кестесі жоқ, өйткені HEC-MW кірісіндегі қабырға ортасындағы түйіндердің реті FrontISTR ішкі пішімімен бірдей. Нәтижені шығару кезінде кері fstr2hecmw_mesh_conv түрлендіруі жазу алдында HEC-MW түйін ретін қалпына келтіреді, сондықтан пайдаланушы кіріс пен шығыс үшін тек HEC-MW пішімін білуі жеткілікті. Төмендегі пішін функцияларындағы түйін нөмірлері түрлендірілген FrontISTR ішкі пішімін пайдаланады.

Бірінші ретті элементтердің пішін функциялары¶

Бірінші ретті тетраэдрлік элемент (341) үшін пішін функциялары көлемдік координаталардың өздері болып табылады:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Бірінші ретті үшбұрышты призмалық элемент (351) үшін пішін функциялары табан үшбұрышының сызықтық пішін функцияларының (\(a, \xi, \eta\)) және осьтік сызықтық пішін функцияларының (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) көбейтінділері болып табылады:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Бірінші ретті гексаэдрлік элемент (361) үшін пішін функциялары үш координата бағыты бойынша сызықтық пішін функцияларының тензорлық көбейтінділері болып табылады:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Мұнда \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) — \(\alpha\) түйінінің табиғи координаталарының мәндері (әр компонент \(\pm 1\)).

Екінші ретті элементтердің пішін функциялары¶

Екінші ретті тетраэдрлік элемент (342) үшін пішін функциялары төрт бұрыштық түйін мен алты қабырға ортасындағы түйінге бөлінеді:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

5–10 қабырға ортасындағы түйіндер тиісінше 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 және 3-4 қабырғаларының орталарына сәйкес келеді.

Екінші ретті үшбұрышты призмалық элемент (352) алты бұрыштық түйіннен, үшбұрышты беттердегі алты қабырға ортасындағы түйіннен және осьтік қабырғалардағы үш ортаңғы түйіннен тұрады:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

7–9 қабырға ортасындағы түйіндер төменгі үшбұрыштың (\(\zeta = -1\)) қабырға орталарына, 10–12 түйіндер жоғарғы үшбұрыштың (\(\zeta = +1\)) қабырға орталарына, ал 13–15 түйіндер осьтік қабырғалардың орталарына сәйкес келеді.

Екінші ретті гексаэдрлік элемент (362) — Serendipity тобының 20 түйінді элементі. \(\alpha\) түйінінің табиғи координаталарының мәндерін \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) деп белгілейік. Бұрыштық түйіндер үшін (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), әр компоненті \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Қабырға ортасындағы түйіндер үшін (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), үш табиғи координатаның біреуі \(0\)-ге, қалған екеуі \(\pm 1\)-ге тең), \(\xi_\alpha = 0\) болатын түйіндерде (\(\xi\) бағытына бағытталған қабырғалар) мынандай:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Қабырға бағыты \(\eta\) немесе \(\zeta\) осі болатын ортаңғы түйіндер ұқсас түрде беріледі, сәйкес табиғи координата квадратталған мүше арқылы алынып тасталады.

Қатысты тақырыптар¶

Пішін функциялары және ақырлы элементтік жуықтау — \(N_\alpha^e\) пішін функцияларының математикалық анықтамасы
Пішін функцияларының кеңістіктік туындылары — Пішін функцияларының ғаламдық координаталар бойынша туындылары және Якобиан
Сандық интегралдау — Интегралдау нүктелері, салмақтар және элементті жуықтап интегралдау
Жетілдірілген элементтік тұжырымдар — B-bar, F-bar, үйлесімсіз элементтер, қабықшалар және арқалықтар
Элементтер кітапханасы (функциялар) — HEC-MW пішіміндегі түйіндер реті мен бет нөмірлері
Физикалық шамалар таңбаларының тізімі