Сандық интегралдау¶

Ішкі күштердің виртуал жұмысының дискреттелуі және Сыртқы күштердің виртуал жұмысы және глобал теңдеуді құрастыру бөлімдерінде алынған элементтің ішкі күш векторлары \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) және элементтің қаттылық матрицасы \(\boldsymbol{K}^e\) элемент облысы \(\Omega^e\) немесе \(\Omega^e_0\) бойынша интегралдар түрінде болады. FrontISTR оларды Gauss квадратурасы арқылы сандық түрде есептейді.

Gauss квадратурасы және айнымалыларды түрлендіру¶

Gauss квадратурасы стандартты \(\Xi\) облысы бойынша интегралды \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) интегралдау нүктелеріндегі интеграл астындағы функция мәндері мен \(w_i\) салмақтарының сызықтық қосындысымен жуықтайды. Оны \(\Omega^e\) элемент облысына қолдану \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) бейнелеуі арқылы айнымалыларды түрлендіруді қамтиды,

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

мұнда \(n_q\) — интегралдау нүктелерінің саны, ал \(J_{\xi_i}\) — түрлендіру Якобианының анықтауышы. Стандартты \(\Xi\) облысы әр элемент түрі үшін анықталады (алтыжақ үшін \([-1,1]^3\), үшбұрыш, тетраэдр және сына тәрізді элементтер үшін — тиісті эталондық пішіндер), ал \(\boldsymbol{\xi}_i\) интегралдау нүктелері мен \(w_i\) салмақтары сандық кестелермен беріледі. Беттік интегралдар да элемент бетін 2 өлшемді стандартты облыстан бейнелеу арқылы осы түрде қарастырылады.

FrontISTR қолданатын интегралдау нүктелері санының негізгі мәндері төменде берілген (элемент түрлерімен сәйкестігін Элементтерді нөмірлеу жүйесі және пішін функциялары кітапханасы бөлімінен қараңыз).

Элемент түрі	Интегралдау формуласы	Интегралдау нүктелерінің саны
4 түйінді тетраэдр (`tet4n`)	1 нүктелік формула	1
10 түйінді тетраэдр (`tet10n`)	4 нүктелік формула	4
6 түйінді үшбұрышты призма (`prism6n`)	2 нүктелік формула	2
15 түйінді үшбұрышты призма (`prism15n`)	9 нүктелік формула	9
8 түйінді алтыжақ (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20 түйінді алтыжақ (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4 түйінді төртбұрыш (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8 түйінді төртбұрыш (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3 түйінді үшбұрыш (`tri3n`)	1 нүктелік формула	1
6 түйінді үшбұрыш (`tri6n`)	3 нүктелік формула	3

Алтыжақ, төртбұрыш және сызықтық элементтер үшін әр координаталық бағыттағы Gauss-Legendre формуласының тензорлық көбейтіндісі қолданылады. Үшбұрыштар, тетраэдрлер және үшбұрышты призмалар симплекс тәрізді пішіндерге арналған арнайы формулаларды (үшбұрыштың өзінде көпмүшелерді дәл интегралдайтын нүктелер орналасуын) қолданады.

Элементтік интегралдауға қолдану¶

Элементтік интегралдауда табиғи координаталар \(\boldsymbol{r}\) стандартты облыстың координаталары ретінде алынады (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), ал физикалық координаталарға бейнелеу пішін функциялары арқылы түйіндік координаталарды интерполяциялаумен беріледі. Эталондық конфигурацияны таңдауға (Инкременттік талдау негіздері) байланысты келесі тұжырымдар қолданылады.

Total Lagrangian әдісі (эталондық конфигурация \(\Omega^e_0\) бойынша интегралдау): бейнелеу мен Якобиан

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

түрінде беріліп, элементтің ішкі күші мен қаттылық матрицасы

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

деп жуықталады. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) шамаларының барлығы \(\boldsymbol{r}_i\) интегралдау нүктесінде есептеледі.

Updated Lagrangian әдісі (ағымдағы конфигурация \(\Omega^e\) бойынша интегралдау): бейнелеу мен Якобиан

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

түрінде беріліп,

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

деп жуықталады.

Екі тұжырымның тек 1 айырмашылығы бар: бейнелеуге берілетін түйіндік координаталар \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) немесе \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\) болады; интегралдау нүктелері, салмақтар және интегралдау нүктелері бойынша цикл құрылымы ортақ.

Толық және төмендетілген интегралдау¶

Интеграл астындағы функцияның көпмүше дәрежесін дәл интегралдауға жеткілікті нүктелер саны қолданылатын интегралдау толық интегралдау, ал одан бір деңгей аз интегралдау нүктелері қолданылатын әдіс төмендетілген интегралдау деп аталады. Төмендетілген интегралдау ығысу және көлемдік блоктауды бәсеңдету үшін қолданылады, бірақ құмсағат тәрізді (hourglass) режимдер сияқты жалған деформация режимдерін өңдеуді талап етеді. Әр элемент түрі үшін интегралдау нүктелерінің саны және толық/төмендетілген интегралдауды таңдау Элементтерді нөмірлеу жүйесі және пішін функциялары кітапханасы бөлімінде және одан кейінгі бөлімдерде, сондай-ақ Жоғары өнімді элементтік тұжырымдар бөлімінде қарастырылады.

Қатысты тақырыптар¶

Пішін функцияларының кеңістіктік туындылары — Якобианды есептеу
Ішкі күштердің виртуал жұмысының дискреттелуі — сандық интегралдау арқылы есептелетін шамалар
Жоғары өнімді элементтік тұжырымдар — төмендетілген интегралдауды қолдану