Skip to content

Сыртқы күштердің виртуалды жұмысы және жалпы теңдеулерді құрастыру

Ішкі күштердің виртуалды жұмысын дискреттеу бөлімінде әлсіз форманың сол жағы элементтің ішкі күш векторына \(\boldsymbol{q}^e\) (UL әдісі) немесе \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL әдісі) жинақталды. Бұл тарауда сыртқы күштердің виртуалды жұмысынан элемент түйіндерінің сыртқы күш векторы \(\boldsymbol{F}^e\) енгізіліп, элемент түйіндеріндегі физикалық шамаларды жалпы түйін нөмірлері бойынша қайта реттеп жинақтайтын құрастыру операциясы арқылы FrontISTR-дің сызықтық емес құрылымдық талдауында шешілуге тиіс түйіндік орын ауыстыруларға қатысты сызықтық емес теңдеулер жүйесіне келеміз.

Сыртқы күштердің виртуалды жұмысын элементтерге жіктеу

Виртуалды жұмыс принципінің оң жағын көлемдік күштен (денелік күштен) және механикалық шекарада берілген беттік күштен тұратын сыртқы күштердің виртуалды жұмысы ретінде элементтерге бөлуге болады. Пішін функциялары және ақырлы элементтік жуықтау бөлімінде енгізілген орын ауыстыру интерполяциясын матрицалық түрде жазу үшін, \(\alpha\) түйінінің \(N_\alpha^e\) пішін функциясы диагональда орналасқан \(d \times d\) блогын \(\boldsymbol{N}_\alpha\) және оларды көлденең орналастырған \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) пайдаланып, \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) деп аламыз. Мұны бастапқы конфигурацияда жазылған сыртқы күштердің виртуалды жұмысына қойсақ

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

аламыз. Мұнда элемент түйіндерінің сыртқы күш векторы \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) түрінде орналастырылды. Осылайша сыртқы күштердің виртуалды жұмысы ішкі күштер жағындағыдай «элемент түйінінің векторы × сынақ функциясы» түрінде жинақталады (ағымдағы конфигурацияда жазғанда да \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) алмастыруларымен сол пішін сақталады).

Элемент түйіндеріндегі физикалық шамаларды құрастыру

Әр элемент үшін алынған түйіндік физикалық шамалар \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) жалпы түйін нөмірлері бойынша қайта реттеліп, жалпы векторға жинақталады. \(\Omega^e\) элементінің ішіндегі \(\alpha\) түйін нөміріне сәйкес жалпы түйін нөмірін

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

деп белгілесек, элемент түйініндегі физикалық шама жалпы түйіндік физикалық шаманың сәйкес компонентіне тең болады (\(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\) және т.б.). Жалпы жағдайда \(i_g\) түйіні бірнеше элементке ортақ болғандықтан, жалпы түйін нөмірі \(i_g\) болатын \((e, \alpha)\) жұптарын жинайтын жиынды

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

пайдаланып, \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) түрінде қосындыны қайта жазсақ, барлық \(n_g\) түйіндер бойынша түйіндік ішкі күш және жалпы ішкі күш векторы

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

алынады. \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) — \(i_g\) түйініне әсер ететін элемент түйіндерінің ішкі күштерінің тең әсерлі күші; сыртқы күш әсер етпей, тепе-теңдік орындалса, ол \(\boldsymbol{0}\) болады. UL әдісінде де сол процедурамен \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) алынады, ал мәндері бойынша \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) болғандықтан, бұдан әрі ажырату қажет жерлерден басқа барлық жерде \(\boldsymbol{Q}\) белгілеуі қолданылады. Жалпы сыртқы күш векторы \(\boldsymbol{F}\) де дәл осындай жинақтаумен алынады.

Іске асыруда \(\mathcal{E}(i_g)\) жиыны айқын түрде құрылмайды; орнына элементтер циклі ішінде сәйкес компонентке қосылады.

Жалпы ішкі күш векторы Q-ды 0-ге инициализациялау：Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (элементтер саны)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Жалпы сыртқы күш векторы \(\boldsymbol{F}\) де сол процедурамен құрылады. Элемент түйіндеріндегі физикалық шамаларды жалпы түйін нөмірлерімен нөмірленген векторлар мен матрицаларға қосып сақтау операциясы құрастыру (assemble) деп аталады. Екі түйін нөміріне қатысты екінші ретті тензорлар (қаттылық матрицасы және т.б.) үшін \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{және}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) жиынын пайдаланып, осындай құрастыру операциясын алуға болады (нақты құрылымы үшін жанама қаттылық матрицасын қараңыз).

Шешілуге тиіс сызықтық емес теңдеулер

Ішкі және сыртқы күштерді құрастыру нәтижелерін виртуалды жұмыс принципіне қойып, геометриялық шекаралық шарттарды қанағаттандыратын кез келген \(\delta\boldsymbol{u}^n\) сынақ функциясы үшін орындалатындықтан,

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

аламыз. Инкременттік талдау (Инкременттік талдау құрылымы) контексінде \(_{n+1}\) уақыт индексін қайта енгізіп, жалпы түйіндік векторды білдіретін \(^n\) жоғарғы индексін алып тастасақ, шешілуге тиіс теңдеу

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

түрінде болады. \(t_{n+1}\) уақытындағы түйіндік орын ауыстыру \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) табылатын дискреттелген шекаралық есеп осы орын ауыстыруға қатысты сызықтық емес теңдеуді геометриялық шекаралық шарттармен бірге шешуге келтіріледі. Теңдеуді сызықтандыру және жанама қаттылық матрицасын құру жанама қаттылық матрицасы бөлімінде, ал итерациялық шешу Newton-Raphson әдісі бөлімінде қарастырылады.

Қатысты бөлімдер

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status