Skip to content

Пішін функциясының кеңістіктік туындысы

Пішін функциялары және ақырлы элементтік жуықтау бөлімінде енгізілген \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) пішін функциясы элементтің жергілікті координаталары болып табылатын \(\boldsymbol{r}\) табиғи координаталарының функциясы ретінде беріледі. Ал әлсіз түрдің интеграл астындағы функциясында деформация–орын ауыстыру қатынасы арқылы физикалық координаталарға (бастапқы конфигурация \(\boldsymbol{X}\) немесе ағымдағы конфигурация \(\boldsymbol{x}\)) қатысты \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) немесе \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\) дербес туындылары пайда болады. Бұл бөлімде осы пішін функцияларының кеңістіктік туындыларын элемент түйіндерінің координаталары мен табиғи координаталар бойынша туындылардан есептеу тәртібі жүйеленеді.

Тізбекті туынды ережесі арқылы кеңістіктік туындыны өрнектеу

\(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) интерполяциялық өрнегіне (алдыңғы бөлім) тізбекті туынды ережесін қолдансақ, табиғи координаталардан физикалық координаталарға түрлендірудің Якоби матрицасы \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) арқылы

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

алынады. Мұнда \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) және \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) — әрбір \(\alpha\) жолы \(\alpha\) түйінінің дербес туындылар векторын білдіретін \(n_e \times 3\) матрицалар.

Якоби матрицасын құру

Интерполяциялық өрнекті \(\boldsymbol{r}\) бойынша дифференциалдасақ,

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

өрнегі алынады, сондықтан матрицаны элемент түйіндерінің \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) координаталары мен табиғи координаталар бойынша \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) туындыларынан тікелей құруға болады. Табиғи координаталар бойынша туындылар пішін функциясының түрімен анықталады және әр элемент түрі үшін алдын ала іске асырылады.

Якоби матрицасының \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) анықтауышы сандық интегралдауда көлем элементін \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\) түрлендіру үшін пайдаланылады. Анықтауыш \(0\) болса, элемент дегенерацияланған және есептеу бұзылады.

Есептеу барысы

Жоғарыдағы шығарудан \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) кеңістіктік туындысын есептеу келесі төрт кезеңге бөлінеді.

  1. Табиғи координаталар бойынша туындыларды есептеу: элемент түрі мен бағалау нүктесінің \(\boldsymbol{r}\) табиғи координаталарын кіріс ретінде алып, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) туынды матрицасын есептеу. Пішін функциясының түрі элемент түріне байланысты болғандықтан, есептеу элемент түрі бойынша тармақталады.
  2. Якоби матрицасын есептеу: элемент түйіндерінің \(\boldsymbol{X}^e\) координаталары мен \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) арқылы алдыңғы бөлімдегі өрнек бойынша \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) Якоби матрицасын құру.
  3. Кері матрица мен анықтауышты есептеу: Якоби матрицасының \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) кері матрицасын және анықтауышын есептеу. Анықтауыш сандық интегралдаудың салмақ коэффициентінде пайдаланылады.
  4. Кеңістіктік туындыны есептеу: \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) пен \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) көбейтіндісі ретінде \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) кеңістіктік туындысын алу.

Бұл төрт кезең элемент түрі мен кеңістік өлшеміне (2D немесе 3D) қарай тармақталғанымен, жалпы есептеу барысы ортақ.

Бастапқы және ағымдағы конфигурациялар үшін ортақтандыру

Жоғарыдағы процедурада \(\boldsymbol{X}^e\) орнына ағымдағы конфигурациядағы түйін координаталарын \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) қою арқылы оны ағымдағы конфигурациядағы \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) кеңістіктік туындысына да қолдануға болады. Сондықтан Total Lagrange және Updated Lagrange әдістерінде тек кіріс түйін координаталарын ауыстырып, бір процедураны ортақ пайдалануға болады.

Қатысты тақырыптар

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status