Skip to content

Пішін функциялары және ақырлы элементтік жуықтау

Виртуал жұмыс принципінің әлсіз түрін есептеу үшін дене облысы ақырлы саны бар элементтерге бөлінеді, ал әр элемент ішіндегі материалдық нүктенің координаталары, орын ауыстыруы және сынақ функциясы түйіндік мәндер мен пішін функциялары арқылы интерполяцияланады. Пішін функцияларының кеңістіктік туындылары Пішін функцияларының кеңістіктік туындылары бөлімінде, әлсіз түрдің дискреттелуі Ішкі күштердің виртуал жұмысының дискреттелуі бөлімінде, ал әр элемент түріне арналған пішін функцияларының нақты түрлері Элементтерді нөмірлеу жүйесі және пішін функциялары кітапханасы бөлімінде және одан кейінгі бөлімдерде қарастырылады.

Облысты бөлу және интегралдардың элементтер бойынша қосындысы

Эталондық конфигурациядағы \(\Omega_0\) облысы және ағымдағы конфигурациядағы \(\Omega\) облысы тиісінше \(\Omega^e_0\) және \(\Omega^e\) элементтерінің бірігуімен жуықталады:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) — элемент нөмірі, ал элемент шекаралары көршілес элементтер арасында ортақ). Осылайша виртуал жұмыс принципіндегі көлемдік және беттік интегралдар жекелеген элементтер бойынша интегралдардың қосындысына бөлінеді:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(ағымдағы конфигурация үшін де \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) алмастыруларымен дәл солай). Бұдан әрі әлсіз түрді есептеу элементтер бойынша интегралдарды құруға келтіріледі.

Түйіндік мәндер мен пішін функциялары арқылы интерполяция (изопараметрлік элементтер)

Әрбір \(\Omega^e_0\) элементіне \(n_e\) түйін тағайындалады. Элемент түйіні \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) үшін эталондық конфигурация координаталары мен түйіндік орын ауыстыруды \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) деп белгілейік. Осы мәндерді ретімен орналастыру арқылы алынған элементтің түйіндік векторлары \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) — барлық түйіндердің \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) векторларынан (\(n_g\) — түйіндердің жалпы саны) \(e\) элементін құрайтын түйіндерге тиесілі компоненттерді ғана таңдап алынған векторлар.

Элемент ішіндегі жергілікті координаталар болып табылатын табиғи координаталарды \(\boldsymbol{r}\) параметр ретінде қолданатын пішін функциялары \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) арқылы элемент ішіндегі материалдық координаталар, орын ауыстыру және сынақ функциясы бірдей пішін функцияларымен интерполяцияланады (изопараметрлік элемент, Galerkin әдісі):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Пішін функциялары келесі 2 қасиетті қанағаттандыратындай құрылады, ал \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) табиғи координаталардан материалдық координаталарға бейнелеуі элемент ішінде 1-ге-1 болатындай элемент пішіні таңдалады:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) — \(\alpha\) түйініне сәйкес табиғи координаталардағы нүкте, \(\delta_{\alpha\beta}\) — Kronecker дельтасы). 1-теңдеу қатты дененің ілгерілемелі қозғалысын дәл беруін, ал 2-теңдеу интерполяцияланған мәннің түйінде түйіндік мәнмен сәйкес болуын қамтамасыз етеді. Әр элемент түріне арналған \(n_e\) және \(N_\alpha^e\) нақты түрлері Элементтерді нөмірлеу жүйесі және пішін функциялары кітапханасы бөлімінде және одан кейінгі бөлімдерде беріледі. Белгілеулерді күрделендірмеу үшін элемент түріне тәуелділік элементке қатысты \(e\) жоғарғы индексімен көрсетіледі.

Жоғарыдағы интерполяция ережелерімен әлсіз түрдің интеграл астындағы функциясы тек элементтің түйіндік мәндері \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) және \(N_\alpha^e\) арқылы өрнектеледі. Ал деформация интерполяцияланған орын ауыстыру мен деформация–орын ауыстыру қатынасынан, кернеу сол деформация мен материалдың конститутивтік заңынан шығарылады; олар түйіндік мәндерден тікелей интерполяцияланбайды. Бұл шамалар элемент ішіндегі интегралдау нүктелерінде есептеледі (Сандық интегралдау).

Глобал түйіндік векторларды реттеу ережесі

Түйіндерге тағайындалатын физикалық шамалар глобал түйіндік векторда түйін нөмірі → еркіндік дәрежесі тәртібімен өсу ретімен орналасады. \(\alpha\) түйініндегі \(i\) еркіндік дәрежесінің компонентін \(u_{i\alpha}\) деп белгілесек, 3 өлшемде (\(i=1,2,3\)) және 2 өлшемде (\(i=1,2\)) тиісінше

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

түрінде болады. \(\boldsymbol{X}^n\) координаталары мен \(\delta\boldsymbol{u}^n\) сынақ функциясы да осы ретпен орналасады. Бұдан әрі матрицалық және векторлық түрдегі түрлендірулер 3 өлшемді жағдайды өкіл ретінде алып жазылады.

Қатысты тақырыптар

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status