Серпімді-пластикалықтық¶

Бұл тарауда FrontISTR қолданатын серпімді-пластикалық конститутивтік заңның құрылымы қарастырылады. Таңдау және енгізу параметрлері туралы толық мәліметті функциялар бөліміндегі 03_material құжатынан қараңыз.

Құбылыс (пластикалық деформация)¶

TBD (келесі кезеңде мәтінмен толықтырылады).

Конститутивтік заңның құрылымы¶

FrontISTR ассоциацияланған ағыс ережесіне негізделген серпімді-пластикалық конститутивтік теңдеуді қолданады. Сонымен қатар, бұл конститутивтік теңдеу Кирхгоф кернеуінің Яуманн жылдамдығы мен деформация жылдамдығы тензорының арасындағы қатынасты өрнектейді, ал деформацияны талдауда жаңартылған Лагранж әдісі қолданылады.

Серпімді-пластикалық материалдың аққыштық шарты төмендегідей берілсін.

Бастапқы аққыштық шарты:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Кейінгі аққыштық шарты:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

мұндағы

\(F\): аққыштық функциясы
\(\sigma_{y_0}\): бастапқы аққыштық кернеуі
\(\sigma_y\): кейінгі аққыштық кернеуі
\(\sigma\): кернеу тензоры
\(e\): кіші деформация тензоры
\(e^p\): пластикалық деформация тензоры
\(\overline{e}^p\): эквивалентті пластикалық деформация

Аққыштық кернеуі–эквивалентті пластикалық деформация қатынасы біросьті күйдегі кернеу–пластикалық деформация қатынасына сәйкес келеді деп қабылданады.

Біросьті күйдегі кернеу–пластикалық деформация қатынасы

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

мұндағы \(H'\) — деформациялық қатаю модулі.

Эквивалентті кернеу–эквивалентті пластикалық деформация қатынасы

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Жалпы жағдайда кейінгі аққыштық функциясы температура мен пластикалық деформация жұмысының функциясы болып табылады, бірақ мұнда қарапайымдық үшін ол тек эквивалентті пластикалық деформацияның \(\overline{e}^p\) функциясы деп қабылданады. Пластикалық деформация жүріп жатқан кезде \(F = 0\) шарты үздіксіз орындалуы тиіс, сондықтан келесі теңдеу қанағаттандырылуы қажет.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Мұндағы \(\dot{F}\) — \(F\) шамасының уақыт бойынша туындысы. Бұдан әрі кез келген \(A\) шамасының уақыт бойынша туындысын \(\dot{A}\) арқылы белгілейміз.

Пластикалық потенциал \(\Theta\) бар деп қабылдап, пластикалық деформация жылдамдығын келесі теңдеумен өрнектейміз.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Мұндағы \(\dot{\lambda}\) — коэффициент.

Одан әрі пластикалық потенциал \(\Theta\) аққыштық функциясы \(F\)-ке тең деп қабылдап, келесі ассоциацияланған ағыс ережесін қолданамыз.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Бұл теңдеуді үйлесімділік шартына қойып, төмендегі теңдеуді аламыз.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Мұндағы \(D\) — серпімділік матрицасы, және

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Серпімді-пластикалық кернеу–деформация қатынасын төмендегідей жазуға болады.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Серпімді-пластикалық материалдың \(F\) аққыштық функциясы белгілі болса, осы өрнектен оның конститутивтік теңдеуі алынады.

Аққыштық функциялары¶

Төменде FrontISTR қолданатын серпімді-пластикалық аққыштық функциялары келтірілген.

Von Mises аққыштық функциясы¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Мұндағы \(J_2\) — девиаторлық кернеу тензорының 2-инварианты.

Mohr-Coulomb аққыштық функциясы¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Мұндағы \(\sigma_1, \sigma_3\) — ең үлкен және ең кіші бас кернеулер, \(c\) — ілінісу, ал \(\phi\) — ішкі үйкеліс бұрышы.

Drucker-Prager аққыштық функциясы¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Мұнда \(\alpha\) және \(\sigma_y\) материал тұрақтылары материалдың ілінісуі мен үйкеліс бұрышынан төмендегідей есептеледі.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Қатысты тақырыптар¶

Сызықтық серпімділік — серпімді жауап (серпімді-пластикалық мінез-құлықтың серпімді бөлігі)
Жанама қаттылық матрицасы — материалдық бейсызықтықты қамтитын қадамдық талдаудағы жанама қаттылық
Материал деректері (функциялар) — аққыштық функциялары мен қатаю заңдарын таңдау және қолдану