Skip to content

Сызықтық серпімділік

Бұл тарауда сызықтық серпімді материалдардың құрылымдық заңы (Гук заңы) қарастырылады. Модельді таңдау мен кіріс параметрлері туралы толық мәліметті функциялар бөліміндегі 03_material тармағынан қараңыз.

Құбылыс (сызықтық серпімді жауап)

Сызықтық серпімді дене — жүктеме әсерінен деформация жеткілікті аз болатын аймақта кернеу мен деформация арасында сызықтық тәуелділік болатын және жүктемені алып тастағанда барлық деформация бастапқы күйіне қайтатын, яғни қайтымды әрі тарихқа тәуелсіз жауап көрсететін материал. Пластикалылықтан немесе жылжудан айырмашылығы, оның күйді сипаттайтын ішкі айнымалылары (пластикалық деформация немесе тұтқыр деформация сияқты) жоқ, сондықтан кернеу тек ағымдағы деформациямен бірмәнді анықталады.

Кіші деформация аймағында Коши кернеуі \(\boldsymbol{\sigma}\) және шексіз кіші деформация \(\boldsymbol{\varepsilon}\) пайдаланылады; шекті деформация аймағында (үлкен бұрылуларды қамтитын, бірақ деформацияның өзі аз есептерде) екінші Пиола–Кирхгоф кернеуі \(\boldsymbol{S}\) және Грин–Лагранж деформациясы \(\boldsymbol{E}\) пайдаланылады (St.Venant-Kirchhoff материалы).

Құрылымдық заң

Изотропты сызықтық серпімді материал

Кіші деформация аймағындағы изотропты Гук заңы Ламе тұрақтылары \(\lambda, \mu\) арқылы

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

түрінде өрнектеледі. Компоненттік түрде

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

болады, ал деформациямен қосарлы жиырылу \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\) береді. Ламе тұрақтылары Юнг модулі \(E\) және Пуассон коэффициенті \(\nu\) арқылы төмендегідей байланысады:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt белгілеуінде деформация векторы \(\hat{\varepsilon}\) мен кернеу векторы \(\hat{\sigma}\) арасындағы байланыс \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) түрінде жазылады, ал үшөлшемді материал матрицасы \(D\)

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

түрінде беріледі (іске асыруда осы матрицалық өрнек пайдаланылады).

Ортотропты сызықтық серпімді материал

Негізгі ось бағыттары бойынша серпімділік тұрақтылары әртүрлі материалдар үшін тоғыз тәуелсіз тұрақтысы бар ортотропты модель қолданылады: негізгі ось бағыттарындағы Юнг модульдері \(E_1, E_2, E_3\), негізгі осьтер арасындағы Пуассон коэффициенттері \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) және ығысу модульдері \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\) матрицасының нақты түрін стандартты әдебиеттерден қараңыз.

Шекті деформация аймағы: St.Venant-Kirchhoff материалы

Үлкен бұрылуларды қамтитын, бірақ деформацияның өзі аз есептерде екінші Пиола–Кирхгоф кернеуі \(\boldsymbol{S}\) пен Грин–Лагранж деформациясы \(\boldsymbol{E}\) арасындағы сызықтық серпімді заң ретінде St.Venant-Kirchhoff материалы қолданылады:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Ламе тұрақтылары \(\lambda, \mu\) кіші деформация жағдайындағыдай анықталады. Алайда кернеу–деформация жұбының анықтамалары өзгеше болғандықтан, бұл кіші деформацияға арналған Гук заңынан бөлек құрылымдық заң екенін ескеріңіз.

Гипосерпімді материал

Updated Lagrange әдісінде салыстырмалы Кирхгоф кернеу тензорының Jaumann жылдамдығы \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) мен деформация жылдамдығы тензоры \(\boldsymbol{D}\) арасындағы сызықтық серпімді заң

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

қолданылатын гипосерпімді материал пайдаланылады. Мұнда да \(\boldsymbol{C}\) тензорының Ламе тұрақтылары арқылы анықтамасы жоғарыдағыдай, бірақ кернеу–деформация жұбы өзгеше болғандықтан бұл басқа құрылымдық заң. Уақыт бойынша интегралдау процедурасы (алға Эйлер интегралдауы және орталық айырым жуықтауы) арқылы \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) кернеуінің жаңартылуы туралы толық мәліметті tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex файлынан қараңыз.

Екіөлшемді талдау және қабықша элементтері үшін ықшамдау

Жазық кернеу (\(\sigma_{33} = 0\))

Жұқа пластиналар мен қабықшалардың жүктелуін сипаттайтын жазық кернеу жағдайында \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) деп қабылданады және жазықтықтан тыс деформация компоненті \(\varepsilon_{33}\) алгебралық түрде жойылған \(D\) матрицасы пайдаланылады:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Жазық деформация (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Қалыңдық бағыты бойынша шектелген ұзын құрылымның қимасын сипаттайтын жазық деформация жағдайында \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\) деп қабылданады:

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Осьтік симметрия

Цилиндрлік координаталарда \((r, \theta, z)\) \(\theta\) бағыты бойынша біртекті есептерді қарастыратын осьтік-симметриялық талдауда \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) және \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) төрт компоненті сақталып,

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

алынады.

Қабықша элементтері (жазық кернеу + көлденең ығысу)

Қабықша элементтерінде жазықтық ішіндегі кернеу жазық кернеу ретінде қарастырылады, ал көлденең ығысу деформациясының \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) компоненттері үшін ығысуды түзету коэффициенті \(\kappa\) (әдетте \(\kappa = 5/6\)) енгізілген \(\kappa\, G\) қолданылады. Әр элементтің нақты тұжырымдамасын Жетілдірілген элементтік тұжырымдар бөлімінен қараңыз. Функциялар бөліміндегі 03_material тармағында берілген «қабықша элементтері тек сызықтық серпімділікті қолдайды» деген сипаттама жазықтық ішіндегі күйді жазық кернеу ретінде қарастыратын осы ықшамдауға негізделген.

Температураға тәуелділік

Юнг модулі \(E\), Пуассон коэффициенті \(\nu\) және сызықтық ұлғаю коэффициенті \(\alpha\) жалпы жағдайда температура \(T\) функциялары ретінде беріледі. FrontISTR-де \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\) шекті температура нүктелерінің қатары үшін мәндер енгізіледі, ал есептеу кезіндегі \(T\) температурасы көршілес нүктелер арасында сызықтық интерполяциямен бағаланады. Диапазоннан тыс температуралар үшін (\(T < T_1\) немесе \(T > T_n\)) ең жақын шеткі \(T_1\) немесе \(T_n\) мәні пайдаланылады (тұрақты экстраполяция).

Жылулық және жылу өткізгіштік қасиеттерінің (тығыздық, меншікті жылусыйымдылық және жылу өткізгіштік) температураға тәуелділігін Жылулық қасиеттер бөлімінен қараңыз. Интерполяция ережелері осы қасиеттермен ортақ.

Қатысты тақырыптар

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status