Skip to content

Сызықтық серпімді статикалық талдау (кіріспе)

Мұнда кіші деформация теориясына негізделген серпімді статикалық талдау тұжырымы берілген. Кернеу–деформация қатынасы үшін сызықтық серпімділік жорамалданады. Бұл тарау ақырлы элементтер әдісімен құрылымдық талдаудың жалпы құрылымын түсінуге арналған кіріспе болып табылады және 1 тараудың өзімен толық оқылатын етіп ұйымдастырылған.

Виртуал жұмыс принципінің жалпы теориясын (ағымдағы конфигурация, бастапқы конфигурация және кіші деформацияға келтіру) Виртуал жұмыс принципі бөлімінен, сызықтық серпімді конститутивтік заңның толық сипаттамасын Сызықтық серпімділік бөлімінен, тензорлық және Voigt белгілеу ережелерін Тензорлық белгілеу және математикалық негіздер бөлімінен, ақырлы деформацияның жалпы тұжырымын Қозғалыс, деформация және деформация бөлімінен, ал сызықтық емес есептерді шешу әдістерін Жанама қаттылық матрицасы бөлімінен қараңыз.

Негізгі теңдеулер

Кіші деформация және сызықтық серпімділік жорамалдарында қатты дене механикасының шекаралық есебі тепе-теңдік теңдеуінен, механикалық шекаралық шарттардан және геометриялық шекаралық шарттардан (негізгі шекаралық шарттар) тұрады (2.1.1-суретті қараңыз):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Мұнда \(\boldsymbol{\sigma}\) — Cauchy кернеуі, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) — бірлік көлемге шаққандағы көлемдік күш, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) — берілген беттік күш, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) — берілген орын ауыстыру, ал \(S_t, S_u\) — механикалық және геометриялық шекаралар.

Қатты дене механикасындағы шекаралық есеп (кіші деформация есебі)

2.1.1-сурет Қатты дене механикасындағы шекаралық есеп (кіші деформация есебі)

Симметриялық градиент операторын қолданып, деформация–орын ауыстыру қатынасы

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Сызықтық серпімді конститутивтік теңдеу

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

түрінде беріледі (\(\boldsymbol{C}\) — 4-ретті серпімділік тензоры).

Виртуал жұмыс принципі

Виртуал жұмыс принципінің жалпы түрлері (ағымдағы конфигурациядағы түр, бастапқы конфигурациядағы түр және кіші деформацияға келтіру) Виртуал жұмыс принципі бөлімінде жинақталған. Кіші деформация және сызықтық серпімділік жорамалдарында әлсіз түр

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

болады. Конститутивтік теңдеу \eqref{eq:2.1.5} қойылып, Voigt белгілеуінде \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) деп жазылса, дискреттеуде тікелей қолданылатын түр

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

алынады (мұндағы \(D\) — Сызықтық серпімділік бөліміндегі серпімділік матрицасы). \eqref{eq:2.1.10} және \eqref{eq:2.1.7} теңдеулері төменде дискреттелетін виртуал жұмыс принципін құрайды.

Дискреттеу және глобал теңдеуді құрастыру

Виртуал жұмыс принципінің \( \eqref{eq:2.1.10} \) теңдеуін ақырлы элементтер бойынша дискреттеу келесі теңдеуді береді.

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Әр элемент үшін орын ауыстыру өрісі элементті құрайтын түйіндердің орын ауыстырулары арқылы келесі түрде интерполяцияланады.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Бұл кезде деформация \(\eqref{eq:2.1.4}\) теңдеуін қолданып келесі түрде беріледі.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.12}\) және \(\eqref{eq:2.1.13}\) теңдеулерін \(\eqref{eq:2.1.11}\) теңдеуіне қойып, келесі теңдеу алынады.

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.14}\) теңдеуін келесі түрде жинақтауға болады.

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Мұнда, \(\eqref{eq:2.1.16}\) және \(\eqref{eq:2.1.17}\) теңдеулерімен анықталған матрица мен вектор компоненттерін әр ақырлы элемент үшін есептеп, суперпозиция арқылы құрастыруға болады.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.15}\) теңдеуі кез келген виртуал орын ауыстыру \(\delta \boldsymbol{U}\) үшін орындалатындықтан, келесі теңдеу алынады.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Ал орын ауыстыру шекаралық шартының \(\eqref{eq:2.1.3}\) теңдеуі келесі түрде жазылады.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.1.18}\) теңдеуін \(\eqref{eq:2.1.19}\) шектеу шартымен шешу арқылы түйіндік орын ауыстыру \(\boldsymbol{U}\) анықталады.

Қатысты тақырыптар

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status