Сызықтық емес итерациялар және уақыт бойынша интегралдау¶

FrontISTR талдауы қадамдық өсімді басқару аясында әр ішкі қадамда сызықтық емес итерациялар мен уақыт бойынша интегралдауды біріктіріп, шешімді ілгерілетеді. Бұл бет сыртқы қадамдық басқару мен ішкі сызықтық шешуші арасындағы итерациялық құрылымды, яғни Newton-Raphson итерацияларын, жанасу итерацияларын, динамикалық талдаудың уақыт бойынша интегралдауын және өтпелі жылу өткізгіштіктің уақыт бойынша ілгерілеуі мен сызықтық емес итерацияларын қарастырады.

Функцияға шолу¶

Қадам ішінде орындалатын сызықтық емес шешу мен уақыт бойынша интегралдау сырттан ішке қарай бірнеше кірістірілген циклден тұрады. Әр деңгейдің міндеті төмендегідей.

Қандай деңгейлер қолданылатыны талдау түріне қарай өзгереді.

Жанасу түрі мен алгоритмін таңдаудың өзі үшін Жанасу және ендіру бетін қараңыз. Бұл бет таңдалған алгоритмнің итерациялық цикл ретінде қалай құрылатынын қарастырады.

Шешу әдісін таңдау¶

Итерациялық құрылым талдау түрін (Талдау түрі), сызықтық еместіктің болуын (геометриялық сызықтық еместік, материалдық сызықтық еместік, жанасу) және жанасу алгоритмін (SLAGRANGE немесе ALAGRANGE) таңдаудан автоматты түрде анықталады. Пайдаланушы тікелей реттейтін параметрлер — итерациялар санының жоғарғы шегі және жинақталу критерийлері.

Реттеу бойынша нұсқаулар төмендегідей.

• Стандартты талдаулар үшін итерациялардың әдепкі жоғарғы шегі әдетте жеткілікті. Жинақталуы қиын есепте «ең көп итерацияға жетіп, жинақталмады» жағдайы орын алса, алдымен cutback (Қадамдық басқару) қолданыңыз; нәтиже болмаса ғана жоғарғы шекті арттырыңыз.
• Жинақталу критерийлерін талдау тұрақтылығы мен есептеу уақытының теңгеріміне қарай реттеңіз. Критерийді қатаңдату тепе-теңдік дәлдігін арттырады, бірақ итерациялар санын көбейтеді. Жанасу талдауында немесе Lagrange көбейткіштері бар талдауда қалдық критерийімен бірге орын ауыстыру өсімі мен Lagrange критерийлерін қолдану тұрақтылықты жақсартады.
• Динамикалық талдаудың уақыт бойынша интегралдау параметрлерін (Newmark-β коэффициенттері) стандартты мәндерден бастап, тербеліс жауабының сандық демпфирлеу сипаттарын өзгерту қажет болғанда реттеңіз.
• Өтпелі жылу өткізгіштікте температура бірқалыпты өзгеретін есептер үшін Crank-Nicolson, ал күрт өзгерістерде немесе ұзақ уақыттық тұрақтылық маңызды болса Backward Euler таңдаңыз.

Статикалық талдаудағы Newton-Raphson итерациялары¶

Сызықтық емес статикалық талдауда геометриялық немесе материалдық сызықтық еместікті қамтитын тепе-теңдік теңдеуі Newton-Raphson әдісімен итерациялық шешіледі. Әр итерация келесі қадамдармен орындалады.

1. Ағымдағы шешімде қалдық векторын \(\boldsymbol{R}\) бағалау.
2. Жанама қаттылық матрицасын \(\boldsymbol{K}_T\) құрастыру.
3. \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) сызықтық жүйесін шешіп, орын ауыстыру түзетуін \(\Delta \boldsymbol{u}\) алу.
4. Шешімді \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\) бойынша жаңарту.
5. Жинақталу критерийімен салыстыру; жинақталса итерацияны аяқтау, жинақталмаса 1-қадамға қайту.

Сызықтық жүйені шешуді (3-қадам) сызықтық шешуші орындайды. Шешуші мен алдын ала шарттауды таңдау үшін Шешуші және алдын ала шарттау бетін қараңыз.

Итерациялар !STEP қадамдық басқару параметрлерімен басқарылады. Негізгі параметрлер төмендегідей.

Қадамдық басқаруда автоматты өсім мен cutback шешіміне пайдаланылатын Newton итерацияларының ең көп саны осы бетте сипатталған Newton итерацияларының санын білдіреді. Автоматты өсім аз итерация кеткен ішкі қадамнан кейін уақыт өсімін үлкейтеді, ал көп итерация кеткен ішкі қадамнан кейін кішірейтеді.

Статикалық талдаудағы жанасу итерациялары¶

Жанасу талдауында жанасу бетінің жабысуы, ажырауы және сырғуына байланысты жанасу күйі итерация барысында өзгеретіндіктен, Newton итерациялары жанасу күйін жаңартумен біріктіріледі. Құрылым таңдалған жанасу алгоритміне байланысты.

Екі алгоритмде де ең сыртқы деңгейде жанасу күйін іздеу циклі орналасады. Әр айналымда ішкі Newton итерациялары жинақталғаннан кейін жанасу күйі (жабысу/ажырау) қайта бағаланады; күй өзгерсе, қаттылық матрицасының құрылымы жаңартылып, ішкі итерациялар қайта орындалады. Жанасу күйі алдыңғы күйден өзгермей, әрі жанасу жинақталу критерийлері (жанасу күші және Lagrange көбейткіші) орындалғанда цикл аяқталады. Ең көп айналым саны !STEP ішіндегі MAXCONTITER арқылы көрсетіледі.

SLAGRANGE жанасуында стандартты Lagrange көбейткіштері әдісі жанасу еркіндік дәрежелерін сызықтық жүйеге қосады; жанасу күйін іздеу циклінің ішінде Newton итерациясы тікелей орналасатын екі деңгейлі құрылым қолданылады. Кеңейтілген Lagrange итерациясы жоқ.

ALAGRANGE жанасуында жанасу күйін іздеу циклінің ішінде кеңейтілген Lagrange итерациясы, ал оның ішінде Newton итерациясы орналасатын үш деңгейлі құрылым қолданылады. Кеңейтілген Lagrange итерациясының әр айналымында жанасу шектеуі айыппұл мүшесі мен Lagrange көбейткішінің комбинациясымен қайта бағаланып, шектеу дәлдігі кезең-кезеңімен жақсартылады. Кеңейтілген Lagrange итерацияларының жоғарғы шегі !CONTACT_ALGO ішіндегі AUGITER арқылы көрсетіледі.

Жанасу итерацияларын басқару параметрлері төмендегідей.

Қадамдық басқарудағы автоматты өсім критерийі пайдаланатын жанасу итерацияларының саны осы бетте сипатталған жанасу күйін жаңартуды қамтитын итерациялар санын білдіреді. Жабысу мен ажырау жиі болатын талдауларда жанасу итерациялары көбейіп, автоматты өсім мен cutback шешіміне де әсер етеді. Жанасу түрін, жұптарын және алгоритмді таңдаудың өзі үшін Жанасу және ендіру бетін қараңыз. Жанасу еркіндік дәрежелері бар сызықтық жүйені шешу үшін Шешуші және алдын ала шарттау бетін қараңыз.

Динамикалық талдауда уақыт бойынша интегралдау (жасырын әдіс)¶

Динамикалық талдаудың жасырын әдісі Newmark-β әдісімен әр уақыт қадамында келесі уақыттағы орын ауыстыру, жылдамдық және үдеуді байланыстырып, оларды қозғалыс теңдеуімен біріктіру арқылы \(t + \Delta t\) күйін табады. \(\Delta t\) уақыт қадамына қойылатын тұрақтылық шектеуі жұмсақ, сондықтан төмен жиілікті компоненттері басым құрылымдық жауапты тиімді шешуге болады.

Уақыт бойынша интегралдаудың екі параметрі бар.

\(\beta = 1/4\), \(\gamma = 1/2\) комбинациясы орташа үдеу әдісі деп аталады; ол шартсыз тұрақты және сандық демпфирлеусіз стандартты таңдау. Сандық демпфирлеу енгізу үшін \(\gamma\) мәнін \(1/2\)-ден үлкен алыңыз. Параметр комбинациялары мен тұрақтылық және қате сипаттарының математикалық егжей-тегжейі үшін теориялық нұсқаулықты қараңыз.

Сызықтық еместік (геометриялық, материалдық немесе жанасу) болса, әр уақыт қадамында Newton итерациялары орындалып, әр итерацияда сызықтық жүйе шешіліп күй жаңартылады. Жинақталу критерийлері ретінде статикалық талдаумен ортақ CONVERG және т.б. қолданылады. Жанасуы бар динамикалық талдауда статикалық талдаудағы жанасу итерацияларымен бірдей итерациялық құрылым уақыт қадамының ішінде орналасады.

Динамикалық талдаудың уақыт қадамы негізінен !STEP уақыт шарттарымен басқарылады. Тұрақты өсімде !STEP ішіндегі DTIME уақыт қадамы, ETIME қадамның уақыт аралығы ретінде беріледі. !DYNAMIC ішіндегі n_step және t_delta !STEP көрсетілмегенде немесе кері үйлесімділік үшін әдепкі мәндер ретінде қолданылады. Сызықтық емес жасырын әдісте !STEP ішіндегі INC_TYPE=AUTO автоматты өсім мен cutback-ты іске қосады және Newton немесе жанасу итерацияларының жағдайына қарай уақыт қадамын өзгертеді. Тұрақты да, автоматты да өсімде уақыт қадамы жинақталу мен талап етілетін дәлдікті ескеріп таңдалады.

Динамикалық талдауда уақыт бойынша интегралдау (айқын әдіс)¶

Динамикалық талдаудың айқын әдісі орталық айырма әдісімен алдыңғы уақыттағы орын ауыстыру, жылдамдық және үдеу мәліметтерінен келесі уақыттағы күйді тікелей есептейді. Теңдеулер жүйесі шешілмейтіндіктен, бір қадамның есептеу құны төмен. Сызықтық еместік болғанда да әр уақыт қадамында Newton итерациясы жоқ бір сатылы жаңарту орындалады.

Уақыт қадамы жүйенің ең кіші меншікті периодына негізделген тұрақтылық шартының (CFL шарты) жоғарғы шегіне бағынады. Бұл шектен үлкен уақыт қадамында сандық шешім шашырайды, сондықтан жасырын әдістегідей үлкен қадам қолдануға болмайды. Соққы, толқын таралуы және жоғары жылдамдықты жанасу сияқты табиғатынан шағын уақыт қадамын қажет ететін құбылыстарда айқын әдіс тиімді.

Жанасу болғанда жанасу шектеуі Forward Increment Lagrange әдісімен өңделеді. Жанасу күші айқын әдістің бір сатылы жаңартуымен үйлесімді түрде бағаланады.

Жиіліктік жауап талдауын шешу әдісі¶

Жиіліктік жауап талдауы модальдық суперпозиция арқылы периодтық тұрақталған жауапты жиілік облысында тікелей есептейді. Жауап қоздыру жиілігін өзгерте отырып бағаланады; уақыт тарихын итерациялық бақылау қажет емес. Сызықтық емес итерациялар да, уақыт бойынша интегралдау да орындалмайды.

Жиіліктік жауап талдауын орындау үшін сол жүйеде алдын ала модальдық талдау жасап, қажетті меншікті модалар санын шығарып алу керек. Тек сызықтық модельдер қолдау табады; геометриялық немесе материалдық сызықтық еместік қосылса, талдау орындалмайды. Талдау түрлерінің орны үшін Талдау түрі бетін қараңыз.

Өтпелі жылу өткізгіштіктің уақыт бойынша ілгерілеуі және сызықтық емес итерациялар¶

Өтпелі жылу өткізгіштіктің !HEAT ішінде толық орындалатын жеке уақыт циклі бар. Уақыт қадамы құрылымдық талдаудың !STEP және !AUTOINC_PARAM жолынан бөлек басқарылады; материал қасиеттері температураға тәуелді болса, әр уақыт қадамында сызықтық емес итерациялар орындалады.

Уақыт бойынша интегралдау схемасы !HEAT ішіндегі \(\beta\) параметрімен таңдалады.

Уақыт қадамы бастапқы уақыт қадамын, ең кіші уақыт қадамын және бір қадамдағы температураның ең үлкен өзгерісін біріктіріп бейімделмелі түрде басқарылады. Әр уақыт қадамын есептегеннен кейін температура өзгерісі DELTMX мәнінен асса, уақыт қадамы кішірейтіліп қайта есептеледі. Уақыт қадамы ең кіші DTMIN мәнінен төмен түссе, талдау тоқтатылады.

Материал қасиеттері температураға тәуелді болса, әр уақыт қадамының ішінде сызықтық емес итерациялар орындалады. Итерацияларды басқару төмендегідей.

Тұрақты жылу өткізгіштікте уақыт қадамы қолданылмайды; материал температураға тәуелді болса, тек сызықтық емес итерациялар орындалады. Жылу өткізгіштік талдауының уақыт басқаруы құрылымдық талдаудағы !STEP-тен тәуелсіз, сондықтан уақыт қадамын реттегенде !HEAT параметрлерін тексеріңіз.

Қатысты тақырыптар¶

• Талдау түрі — әр талдау түрінің орны.
• Жанасу және ендіру — жанасу түрін, жұптарын және шешу алгоритмін таңдау.
• Шешуші және алдын ала шарттау — Newton итерациясында шақырылатын сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.
• Қадамдық басқару — сыртқы қадам/ішкі қадам басқаруы, автоматты өсім және cutback.
• Newton-Raphson әдісі (теория) — итерациялық шешу әдісінің тұжырымдалуы.
• Жинақталу критерийлері (теория) — жинақталу көрсеткіштерінің математикалық анықтамалары.
• Динамикалық талдау әдістері (теория) — Newmark-β және орталық айырма әдістерінің тұжырымдалуы.
• Өтпелі жылу өткізгіштік талдауы (теория) — жылу өткізгіштікті уақыт бойынша интегралдау тұжырымдамасы.
• Жанасу талдауы (теория) — Lagrange көбейткіштері әдісінің тұжырымдалуы.
• Кілтсөз анықтамасы: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.