არასტაციონარული თბოგამტარობის ანალიზი¶

აქ ნაჩვენებია მყარი სხეულის თბოგამტარობის ანალიზის დროითი დისკრეტიზაცია და იტერაციული ამოხსნის მეთოდი სასრული ელემენტების მეთოდით (Finite Element Method). უწყვეტი სხეულის მმართველი განტოლებისა და სასაზღვრო პირობებისთვის იხილეთ თბოგამტარობის განტოლება.

დისკრეტიზებული განტოლება (საწყისი წერტილი)¶

თბოგამტარობის განტოლების (თბოგამტარობის განტოლების ფორმულა (gov_he_main)) Galerkin-ის მეთოდით დისკრეტიზაციისას მიიღება

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

სადაც

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]

\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]

\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

აქ \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) შესაბამისად არის თბოგამტარობის მატრიცა (სასაზღვრო წვლილის კონვექციისა და გამოსხივების წევრების ჩათვლით), მასის მატრიცა, თბური დატვირთვის ვექტორი და ფორმის ფუნქციების მატრიცა. ფიზიკური თვისებების სიმბოლოების (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) და სხვ.) განსაზღვრებები მოცემულია თბოგამტარობის განტოლებაში.

დროითი დისკრეტიზაცია და იტერაციული ამოხსნა¶

განტოლება \(\eqref{eq:2.4.8}\) არაწრფივი და არასტაციონარული განტოლებაა. დროის მიხედვით გამოვიყენოთ უკანა Euler-ის მეთოდით დისკრეტიზაცია და, თუ დროის მომენტში \(t=t_0\) ტემპერატურა ცნობილია, დროის მომენტში \(t=t_0+\Delta t\) ტემპერატურა გამოვთვალოთ შემდეგი განტოლებით.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

განვიხილოთ ტემპერატურის ვექტორის \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), რომელიც მიახლოებით აკმაყოფილებს განტოლებას \(\eqref{eq:2.4.13}\), გაუმჯობესება და უფრო ზუსტი ამონახსნის \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) მიღება.

ამისთვის თავდაპირველად ტემპერატურის ვექტორი ჩაიწერება შემდეგნაირად.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

თბოგამტარობის მატრიცისა და ტემპერატურის ვექტორის ნამრავლი, მასის მატრიცა და სხვ. მიახლოებით გამოისახება შემდეგნაირად.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]

\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

განტოლებების \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) და \(\eqref{eq:2.4.16}\) განტოლებაში \(\eqref{eq:2.4.13}\) ჩასმით და მეორე და უფრო მაღალი რიგის წევრების უგულებელყოფით მიიღება

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

შემდეგ მარცხენა მხარის კოეფიციენტთა მატრიცა მიახლოებით შეფასდება შემდეგი განტოლებით.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

აქ \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) არის მხები სიხისტის მატრიცა.

საბოლოოდ, შემდეგი განტოლებით იტერაციული გამოთვლის ჩატარებით შეიძლება დროის მომენტში \(t=t_0+\Delta t\) ტემპერატურის მიღება.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

კერძოდ, სტაციონარული ანალიზისთვის იტერაციული გამოთვლა ტარდება შემდეგი განტოლებით.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]

\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

არასტაციონარულ ანალიზში დროის ბიჯის \(\Delta t\) არჩევანი, რადგან დროითი დისკრეტიზაციისთვის არაცხადი მეთოდი გამოიყენება, ზოგადად არ ექვემდებარება მის ზომაზე სტაბილურობის შეზღუდვას. თუმცა, თუ დროის ბიჯი \(\Delta t\) ზედმეტად დიდია, იტერაციული გამოთვლისთვის საჭირო კრებადობის იტერაციების რაოდენობა იზრდება. ზოგადად, ძალიან დიდი დროის ბიჯი \(\Delta t\) ზრდის იტერაციების რაოდენობას. რეალიზაციაში კონტროლდება ნაშთის ვექტორის სიდიდე: ნელი კრებადობისას \(\Delta t\) მცირდება, ხოლო მცირე იტერაციების რაოდენობისას \(\Delta t\) იზრდება. ამისთვის გამოიყენება ბიჯის ავტომატური მართვა (→ დეტალებისთვის იხილეთ ბიჯის მართვა).

დაკავშირებული თემები¶

ანალიზის ტიპი — თბოგამტარობის ანალიზის ფუნქციური მიმოხილვა
ბიჯის მართვა — ბიჯის ავტომატური მართვის დეტალები
ლიტერატურა