სიხშირული გამოძახილის ანალიზი¶

ამოცანის დასმა¶

სიხშირული გამოძახილის ანალიზი აფასებს სისტემის გამოძახილის ამპლიტუდასა და ფაზას სიხშირულ არეში დამყარებულ მდგომარეობაში, როდესაც გარე ძალა დროში ჰარმონიულად იცვლება. რადგან მოძრაობის განტოლების ჩარჩო განსხვავდება დაუმუხრუჭებელ და დამუხრუჭებულ შემთხვევებს შორის, ამ თავში თავდაპირველად თავისუფალი დაუმუხრუჭებელი რხევებიდან მიიღება საკუთარი მოდები, რომლებიც შემდეგ მოდალურ ბაზისად გამოიყენება დამუხრუჭებული ჰარმონიული გამოძახილის გასაშლელად.

თავისუფალი დაუმუხრუჭებელი რხევა და საკუთარი მოდები¶

დემპფირების გაუთვალისწინებლად მოძრაობის განტოლება შემდეგია.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

მისი თითოეული საკუთარი მოდის მიხედვით გაშლით მიიღება

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

ამის განტოლებაში \(\eqref{eq:2.6.1}\) ჩასმით მივიღებთ

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

ამ განზოგადებული საკუთარი მნიშვნელობების ამოცანის რიცხვითი ამოხსნის მეთოდები (შიფტიანი შებრუნებული იტერაცია და Lanczos-ის მეთოდი) განხილულია მოდალურ ანალიზში. აქ შეჯამებულია მიღებული საკუთარი სიხშირეებისა და საკუთარი მოდების ის თვისებები, რომლებიც გამოიყენება შემდგომ ჰარმონიულ გამოძახილში.

საკუთარი სიხშირეების ნამდვილობა¶

ქვემოთ ვაჩვენებთ, რომ საკუთარი სიხშირეები ნამდვილი რიცხვებია. დავუშვათ \(\omega_j^2 = \lambda_j\) და ავიღოთ განტოლება \(\eqref{eq:2.6.3}\)-ის კომპლექსურად შეუღლებული სახე; მიიღება განტოლება \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

ამის \(\overline{U}_J^T\)-ზე გამრავლებით მიიღება

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

განტოლებიდან \(\eqref{eq:2.6.5}\) მივიღებთ

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

რადგან მასის მატრიცა დადებითად განსაზღვრული სიმეტრიული მატრიცაა, არანულოვანი საკუთარი ვექტორისთვის სრულდება

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

ამიტომ

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

და შესაბამისად \(\omega_j^2 = \lambda_j\) ნამდვილი რიცხვია.

საკუთარი მოდების ორთოგონალურობა და ნორმირება¶

განვიხილოთ ორი განსხვავებული მოდი.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

აქედან მიიღება

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

და განსხვავებული საკუთარი მნიშვნელობებისთვის

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

ანუ განსხვავებული საკუთარი მოდები ერთმანეთის მიმართ ორთოგონალურია მასის მატრიცის მიხედვით. ერთი და იმავე მოდისთვის მასის მატრიცის მიხედვით ნორმირება (განტოლება \(\eqref{eq:2.6.12}\)) ამარტივებს შემდგომ დამუშავებას.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

ჰარმონიული გამოძახილი დემპფირების პირობებში¶

შემდეგ მოცემულია სიხშირული გამოძახილის ანალიზის ფორმულირება დემპფირების გათვალისწინებით. განსახილველი მოძრაობის განტოლებაა \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

დემპფირების წევრი მიჩნეულია Rayleigh-ის ტიპისად და გამოისახება \(\eqref{eq:2.6.14}\)-ის სახით.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

მოდალური ანალიზით მიღებული საკუთარი ვექტორების გამოყენებით გადაადგილების ვექტორი დროის მომენტში t შეიძლება გაიშალოს როგორც \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

როდესაც გარე ძალის წევრი ჰარმონიული ოსცილატორის სახითაა მოცემული

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

განისაზღვრება \(b_{j}(t)\). რადგან მოძრაობის განტოლება \(\eqref{eq:2.6.13}\) იძულებითი რხევის სახეს იღებს,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

სრულდება. \(b_{j}(t)\)-ის გაშლის კოეფიციენტის ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილები მიიღება შესაბამისად განტოლებების \(\eqref{eq:2.6.18}i\) და \(\eqref{eq:2.6.19}\) სახით.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

ასე მიიღება შესაბამისი გამოძახილი.

დაკავშირებული თემები¶

მოდალური ანალიზი — წინაპირობად გამოყენებული საკუთარი მნიშვნელობების ამოცანის ფორმულირება
დინამიკური ანალიზის მეთოდები — დინამიკური ანალიზი დროის არეში
ანალიზის ტიპი — სიხშირული გამოძახილის ანალიზის ფუნქციური მიმოხილვა