შიგთავსზე გადასვლა

ფიზიკური სიდიდეების სიმბოლოების სია

ამ გვერდზე ჩამოთვლილია FrontISTR-ის თეორიულ სახელმძღვანელოში გამოყენებული ფიზიკური სიდიდეების სიმბოლოები. აღნიშვნის წესებისთვის (ვექტორებისა და ტენზორების მუქი შრიფტით აღნიშვნა, Einstein-ის შეჯამების კონვენცია და Voigt-ის აღნიშვნა) იხილეთ ტენზორული აღნიშვნა და მათემატიკური საფუძვლები.

კონფიგურაციები და კოორდინატთა სისტემები

სიმბოლო აღწერა
\(\boldsymbol{X}\) მატერიალური წერტილის მდებარეობის ვექტორი საცნობარო (საწყის) კონფიგურაციაში (მატერიალური კოორდინატები)
\(\boldsymbol{x}\) მატერიალური წერტილის მდებარეობის ვექტორი მიმდინარე კონფიგურაციაში (სივრცითი კოორდინატები)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) მოძრაობის ასახვა: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) სხეულის მიერ დაკავებული არე საცნობარო კონფიგურაციაში
\(\Omega\) სხეულის მიერ დაკავებული არე მიმდინარე კონფიგურაციაში
\(\Gamma_0\) \(\Omega_0\)-ის საზღვარი
\(\Gamma\) \(\Omega\)-ის საზღვარი
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) გეომეტრიული (გადაადგილების) საზღვარი: მიმდინარე და საცნობარო კონფიგურაციების საზღვრები, რომლებზეც მოცემულია \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) მექანიკური საზღვარი: მიმდინარე და საცნობარო კონფიგურაციების საზღვრები, რომლებზეც მოცემულია \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (ან \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) ზედაპირის გარეთა ერთეულოვანი ნორმალის ვექტორი მიმდინარე კონფიგურაციაში
\(\boldsymbol{N}\) ზედაპირის გარეთა ერთეულოვანი ნორმალის ვექტორი საცნობარო კონფიგურაციაში
\(t\) დრო

კონვენცია: საცნობარო კონფიგურაციის ფიზიკური სიდიდეები აღინიშნება დიდი ასოებით ან ინდექსით \(0\), ხოლო მიმდინარე კონფიგურაციის სიდიდეები — პატარა ასოებით.

დრო და ნაზრდები (ნაზრდოვანი ანალიზი)

სიმბოლო აღწერა
\(\Delta t\) დროის ნაზრდი: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) ფიზიკური სიდიდე დროის მომენტში \(t\) (მარცხენა ზედა ინდექსი). მაგალითი: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) არის Cauchy-ის ძაბვა დროის მომენტში \(t\)
\(^{t}\Omega\) მიმდინარე კონფიგურაციის არე დროის მომენტში \(t\)
\(^{t}\Gamma\) მიმდინარე კონფიგურაციის საზღვარი დროის მომენტში \(t\)

კონვენცია: ნაზრდოვან ანალიზში მდგომარეობა დროის მომენტამდე \(t\) ითვლება ცნობილად, ხოლო მდგომარეობა \(t + \Delta t\) მომენტში განისაზღვრება როგორც უცნობი. თუ დროის აშკარად მითითება საჭირო არ არის, მარცხენა ზედა ინდექსი გამოტოვებულია. ფორმულირებას, რომელიც საცნობაროდ იყენებს საცნობარო კონფიგურაციას \(\Omega_0\), ეწოდება სრული ლაგრანჟის ფორმულირება, ხოლო ფორმულირებას, რომელიც საცნობაროდ იყენებს ნაზრდის დასაწყისის მიმდინარე კონფიგურაციას \(^{t}\Omega\), — განახლებული ლაგრანჟის ფორმულირება.

გადაადგილება, სიჩქარე, აჩქარება და მოცულობითი ძალა

სიმბოლო აღწერა
\(\boldsymbol{u}\) გადაადგილების ვექტორი: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) გეომეტრიულ საზღვარზე \(\Gamma_B\) მოცემული გადაადგილება
\(\delta \boldsymbol{u}\) ვირტუალური გადაადგილება (საცდელი ფუნქცია): \(\Gamma_B\)-ზე \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{v}\) სიჩქარის ვექტორი: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) აჩქარების ვექტორი: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) მოცულობითი ძალა (ერთეულ მასაზე)
\(\boldsymbol{t}\) ზედაპირული ძალის ვექტორი (ერთეულ ფართობზე): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) მექანიკურ საზღვარზე \(\Gamma_t\) მოცემული ზედაპირული ძალა (Neumann-ის მონაცემები)

დიფერენციალური ოპერატორები

სიმბოლო აღწერა
\(\dot{(\cdot)}\) მატერიალური დროითი წარმოებული (დროითი წარმოებული იმავე მატერიალური წერტილის მიყოლებით): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) საცნობარო კონფიგურაციის გრადიენტი (გრადიენტი მატერიალური კოორდინატების \(\boldsymbol{X}\) მიმართ): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) მიმდინარე კონფიგურაციის გრადიენტი (გრადიენტი სივრცითი კოორდინატების \(\boldsymbol{x}\) მიმართ): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) სიმეტრიული გრადიენტის ოპერატორი: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

შენიშვნა: \(\nabla_X\) და \(\nabla_x\) დაკავშირებულია თანაფარდობით \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). ინდექსის გარეშე \(\nabla\) გამოიყენება, როდესაც კონფიგურაცია კონტექსტიდან ნათელია ან როდესაც განსხვავება ქრება, მაგალითად მცირე დეფორმაციების შემთხვევაში.

დეფორმაციის ტენზორები

სიმბოლო აღწერა
\(\boldsymbol{F}\) დეფორმაციის გრადიენტის ტენზორი: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) მოცულობის ცვლილების ფარდობა: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) მარჯვენა Cauchy-Green-ის დეფორმაციის ტენზორი: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) მარცხენა Cauchy-Green-ის დეფორმაციის ტენზორი: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) სიჩქარის გრადიენტის ტენზორი: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) დეფორმაციის სიჩქარის ტენზორი (\(\boldsymbol{L}\)-ის სიმეტრიული ნაწილი): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) ბრუნვის ტენზორი (\(\boldsymbol{L}\)-ის ანტისიმეტრიული ნაწილი): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

დეფორმაციის საზომის ტენზორები

სიმბოლო აღწერა
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrange-ის დეფორმაციის ტენზორი (საცნობარო კონფიგურაცია): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansi-ის დეფორმაციის ტენზორი (მიმდინარე კონფიგურაცია): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi-ის დეფორმაციის ტენზორის წრფივი ნაწილი (სიმეტრიული გადაადგილების გრადიენტი მიმდინარე კონფიგურაციაში): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) მცირე დეფორმაციის ტენზორი (წრფივი მიახლოება): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

შენიშვნა: \(\boldsymbol{E}\) ძირითადად გამოიყენება სრული ლაგრანჟის ფორმულირებაში, ხოლო \(\boldsymbol{D}\) — განახლებული ლაგრანჟის ფორმულირებაში.

ძაბვის ტენზორები

სიმბოლო აღწერა
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-ის ძაბვის ტენზორი (ჭეშმარიტი ძაბვა, მიმდინარე კონფიგურაცია): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) პირველი Piola-Kirchhoff-ის ძაბვის ტენზორი (ნომინალური ძაბვა): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) მეორე Piola-Kirchhoff-ის ძაბვის ტენზორი (საცნობარო კონფიგურაცია, სიმეტრიული): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

ძაბვის ტენზორებს შორის გარდაქმნის თანაფარდობები:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

კონვენცია: სრული ლაგრანჟის ფორმულირებაში გამოიყენება წყვილი \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), ხოლო განახლებული ლაგრანჟის ფორმულირებაში — \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

სიმკვრივე და მასა

სიმბოლო აღწერა
\(\rho\) მასის სიმკვრივე მიმდინარე კონფიგურაციაში
\(\rho_0\) მასის სიმკვრივე საცნობარო კონფიგურაციაში

მასის შენახვის კანონი: \(\rho_0 = J\rho\).

მასალის მუდმივები (წრფივი ელასტიკურობა)

სიმბოლო აღწერა
\(E\) Young-ის მოდული (გრძივი ელასტიკურობის მოდული)
\(\nu\) Poisson-ის კოეფიციენტი
\(\lambda\) Lamé-ის პირველი მუდმივა: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Lamé-ის მეორე მუდმივა (ძვრის მოდული): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) ელასტიკურობის ტენზორი (მეოთხე რიგის): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), კომპონენტები \(C_{ijkl}\)
\(D\) (ან \(\hat{\tilde{C}}\)) მასალის მატრიცა (Voigt-ის აღნიშვნა, სამ განზომილებაში \(6\times6\)): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

იზოტროპული წრფივი ელასტიკური მასალის ელასტიკურობის ტენზორის კომპონენტები:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

ჰიპერელასტიკური მასალები

სიმბოლო აღწერა
\(W(\boldsymbol{C})\) ელასტიკური პოტენციალის ფუნქცია (დეფორმაციის ენერგიის სიმკვრივის ფუნქცია)
\(I_1, I_2, I_3\) მარჯვენა Cauchy-Green-ის ტენზორის \(\boldsymbol{C}\) მთავარი ინვარიანტები
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) \(\boldsymbol{C}\)-ის რედუცირებული ინვარიანტები (მოცულობითი ცვლილების გამოყოფით)
\(C_1, C_2\) Mooney-Rivlin-ის მოდელის მასალის მუდმივები
\(D\) მოცულობით ელასტიკურობასთან დაკავშირებული მასალის მუდმივა

ელასტოპლასტიკური მასალები

სიმბოლო აღწერა
\(\boldsymbol{D}^e\) დეფორმაციის სიჩქარის ტენზორის ელასტიკური კომპონენტი
\(\boldsymbol{D}^p\) დეფორმაციის სიჩქარის ტენზორის პლასტიკური კომპონენტი
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) დენადობის ფუნქცია
\(\kappa\) პლასტიკური მდგომარეობის აღმნიშვნელი შიდა ცვლადი (იზოტროპული გამაგრების ცვლადი)
\(\lambda^p\) პლასტიკურობის მამრავლი (პლასტიკური დეფორმაციის სიჩქარის მამრავლი): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) პლასტიკური პოტენციალი (ასოცირებული დინების წესისთვის \(\Theta = F\))
\(\bar{\sigma}\) ეკვივალენტური ძაბვა (მაგ., von Mises-ის ძაბვა)
\(\bar{\varepsilon}^p\) ეკვივალენტური პლასტიკური დეფორმაცია
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) იზოტროპული გამაგრების ფუნქცია

კომპლემენტარობის პირობა: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

სასრული ელემენტების მეთოდი

სიმბოლო აღწერა
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) სასრული ელემენტებით დისკრეტიზაციით მიახლოებული მიმდინარე და საცნობარო კონფიგურაციების არეები: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) ელემენტის არე მიმდინარე და საცნობარო კონფიგურაციებში
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) ელემენტის საზღვრის ნაწილი, რომელიც მექანიკურ საზღვარს ეკუთვნის
\(\boldsymbol{r}\) ბუნებრივი კოორდინატები (ელემენტის ლოკალური კოორდინატები)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) ბუნებრივი კოორდინატების წერტილი, რომელიც შეესაბამება კვანძს \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ფორმის ფუნქცია, რომელიც შეესაბამება ელემენტ \(e\)-ის კვანძს \(\alpha\)
\(n_e\) ელემენტის შემადგენელი კვანძების რაოდენობა
\(n_g\) გლობალური კვანძების საერთო რაოდენობა
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) ელემენტის კვანძ \(\alpha\)-ის კოორდინატები და გადაადგილება
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) ელემენტის კვანძების კოორდინატებისა და გადაადგილებების ვექტორები: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) და ა.შ.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) გლობალური კვანძების კოორდინატებისა და გადაადგილებების ვექტორები (დალაგებული კვანძის ნომრის, შემდეგ თავისუფლების ხარისხის მიხედვით)
\(\boldsymbol{B}\) დეფორმაცია–გადაადგილების კავშირის მატრიცა (B-მატრიცა)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) ფორმის ფუნქციების მატრიცა: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) არის \(d \times d\) ბლოკი, რომლის დიაგონალზე განლაგებულია კვანძ \(\alpha\)-ის ფორმის ფუნქცია \(N_\alpha^e\); \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) ელემენტის სიხისტის მატრიცა
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) ელემენტის სიხისტის მატრიცის ინტეგრანდები (გამოსახული საცნობარო და მიმდინარე კონფიგურაციებში): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL ფორმულირება), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL ფორმულირება) ელემენტის შიდა ძალის ვექტორი
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) ელემენტის კვანძ \(\alpha\)-ზე მოქმედი კვანძური გარე ძალა და ელემენტის კვანძური გარე ძალების ვექტორი: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) გლობალური შიდა ძალის ვექტორი და გლობალური გარე ძალის ვექტორი: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); ანალოგიურად \(\boldsymbol{F}\)-ისთვის
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) კვანძური შიდა და გარე ძალები გლობალურ კვანძზე \(i_g\) (\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)-ის კვანძური ბლოკები)
\(\boldsymbol{K}\) გლობალური ტანგენტური სიხისტის მატრიცა: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). მატრიცა, რომელშიც \(3\times 3\) ბლოკი \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) განთავსებულია \(i_g\)-ე მწკრივსა და \(i_h\)-ე სვეტში
\(\boldsymbol{R}_i\) ნაშთის ვექტორი Newton-Raphson-ის იტერაციაში: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) შესწორება Newton-Raphson-ის იტერაციაში (მიიღება \(i\)-ე იტერაციაზე წრფივი განტოლების \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) ამოხსნით)
\(i_g\) გლობალური კვანძის ნომერი (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) გლობალური კვანძის ნომერი, რომელიც შეესაბამება ელემენტ \(e\)-ის ლოკალურ კვანძის ნომერს \(\alpha\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) \((e, \alpha)\) წყვილების სიმრავლე, რომელიც შეესაბამება გლობალური კვანძის ნომერს \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). გამოიყენება ასემბლირების ოპერაციებში
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) \((e, \alpha, \beta)\) სამეულების სიმრავლე, რომელიც შეესაბამება გლობალური კვანძების ნომრების წყვილს \((i_g, i_h)\); გამოიყენება სიხისტის მატრიცის ასემბლირებაში
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) ელემენტის შემადგენელ კვანძებთან დაკავშირებული ინდექსები
\(i, j, k, l, \ldots\) თავისუფლების ხარისხებთან დაკავშირებული ინდექსები (სამ განზომილებაში \(1, 2, 3\))

გაუმჯობესებული და კონსტრუქციული ელემენტები

სიმბოლო აღწერა
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) B-bar მეთოდში მოცულობითი ნაწილის შესწორებული დეფორმაცია–გადაადგილების კავშირის მატრიცა (მოცულობითი კომპონენტი ჩანაცვლებულია ელემენტის ცენტრში შეფასებული B-მატრიცით)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) F-bar მეთოდში მოცულობითი ნაწილის შესწორებული დეფორმაციის გრადიენტი: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) ელემენტის ცენტრში \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\) შეფასებული დეფორმაციის გრადიენტის მოცულობის ფარდობა: \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) შიდა თავისუფლების ხარისხების ვექტორი შეუთავსებელი მოდის ელემენტში (დამატებითი გადაადგილების მოდების კოეფიციენტები, რომლებიც ელემენტის საზღვარზე უწყვეტობას არ უზრუნველყოფენ)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) შეუთავსებელი მოდების ფორმის ფუნქციები: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) გარსული ელემენტის სისქე
\(A\) კოჭის ელემენტის განივკვეთის ფართობი
\(I\) კოჭის ელემენტის განივკვეთის ფართობის მეორე მომენტი
\(G\) ძვრის მოდული: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

დაკავშირებული თემები

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status