მოძრაობა, დეფორმაცია და დაძაბულობა¶

საწყისი და მიმდინარე კონფიგურაციები¶

კონფიგურაციების განსაზღვრა¶

ფიზიკური სიდიდეების აღწერისას იმის გასარჩევად, დროის რომელ ფორმას ვიყენებთ საფუძვლად, ამ სახელმძღვანელოში ორი კონფიგურაცია გამოიყენება.

საწყისი კონფიგურაცია (reference configuration): ანალიზის დაწყების მომენტში (დრო \(0\)) არსებული არადეფორმირებული ფორმა (ასევე ეწოდება პირველადი კონფიგურაცია). საწყის კონფიგურაციაში წერტილი აღიწერება მატერიალური კოორდინატით \(\boldsymbol{X}\), მოცულობა აღინიშნება \(V\)-ით, ხოლო ზედაპირი — \(S\)-ით.
მიმდინარე კონფიგურაცია (current configuration): დრო \(t\)-ზე არსებული დეფორმირებული ფორმა. მიმდინარე კონფიგურაციაში წერტილი აღიწერება სივრცითი კოორდინატით \(\boldsymbol{x}\), მოცულობა აღინიშნება \(v\)-ით, ხოლო ზედაპირი — \(s\)-ით.

მოძრაობა გამოისახება ამ ორ კონფიგურაციას შორის ასახვით \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), ხოლო გადაადგილება განისაზღვრება როგორც \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

კონფიგურაციაზე დამოკიდებული აღნიშვნები (დიდი/პატარა ასოები)¶

ფიზიკური სიდიდის რომელ კონფიგურაციას ეკუთვნის, სიმბოლოს რეგისტრით განვასხვავებთ.

საწყის კონფიგურაციას მიკუთვნებული სიდიდეები იწერება დიდი ასოებით (მაგალითად, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
მიმდინარე კონფიგურაციას მიკუთვნებული სიდიდეები იწერება პატარა ასოებით (მაგალითად, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
ორივე კონფიგურაციასთან დაკავშირებული სიდიდეებისთვის, როგორიცაა პირველი Piola-Kirchhoff-ის ძაბვა \(\boldsymbol{P}\), გამოიყენება დამკვიდრებული აღნიშვნა და საჭიროებისას ეს ტექსტში ცალკე განიმარტება.
მცირე დეფორმაციის თეორიაში ორ კონფიგურაციას შორის განსხვავება ქრება, ამიტომ გამოიყენება მხოლოდ პატარა ასოები (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

საწყისი და მიმდინარე კონფიგურაციების გრადიენტები¶

აღნიშვნა და მნიშვნელობა განსხვავდება იმის მიხედვით, სივრცითი წარმოებული რომელ კონფიგურაციასთან მიმართებით აიღება.

საწყისი კონფიგურაციის გრადიენტი \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): გრადიენტი მატერიალური კოორდინატების მიმართ. მაგალითი: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
მიმდინარე კონფიგურაციის გრადიენტი \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): გრადიენტი სივრცითი კოორდინატების მიმართ. მაგალითი: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

ისინი დაკავშირებულია თანაფარდობით \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). დროითი წარმოებულის აღნიშვნისთვის (მატერიალური დროითი წარმოებული \(\dot{(\cdot)}\)) იხილეთ ტენზორული აღნიშვნები და მათემატიკური საფუძვლები.

მოძრაობის აღწერა¶

მოძრაობის ასახვა და მატერიალური/სივრცითი აღწერები¶

თუ უწყვეტ გარემოს განვიხილავთ მატერიალური წერტილების ერთობლიობად, რომელთა იარლიყია დრო \(0\)-ზე მათი მდებარეობა \(\boldsymbol{X}\), მოძრაობა აღიწერება ასახვით \(\phi\), რომელიც მატერიალურ წერტილს \(\boldsymbol{X}\) დრო \(t\)-ზე მის მდებარეობას \(\boldsymbol{x}\) შეუსაბამებს:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

როდესაც საწყის კონფიგურაციად პირველადი კონფიგურაციაა არჩეული, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

დამოუკიდებელი ცვლადების არჩევის მიხედვით ორი სახის აღწერა გამოიყოფა.

მატერიალური აღწერა (Lagrange-ის აღწერა): ფიზიკური სიდიდეები გამოისახება \((\boldsymbol{X}, t)\)-ის ფუნქციებად. მყარი სხეულის მექანიკაში ეს ბუნებრივი არჩევანია, რადგან საწყისი კონფიგურაცია ფიქსირებული ფორმით არის მოცემული.
სივრცითი აღწერა (Euler-ის აღწერა): ფიზიკური სიდიდეები გამოისახება \((\boldsymbol{x}, t)\)-ის ფუნქციებად. ეს სტანდარტული აღწერაა სითხეების მექანიკაში.

FrontISTR-ის სტრუქტურული ანალიზი ძირითადად მატერიალურ აღწერას ეფუძნება, თუმცა Updated Lagrange-ის მეთოდი მიმდინარე კონფიგურაციას ახალ საწყის კონფიგურაციად იყენებს, ამიტომ სივრცითი აღწერის სიდიდეებიც გამოიყენება.

გადაადგილება, სიჩქარე და აჩქარება¶

როგორც წინა განყოფილებაში აღინიშნა, გადაადგილება \(\boldsymbol{u}\) განისაზღვრება როგორც \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). მის სიდიდეზე შეზღუდვა არ მიიღება, ამიტომ განიხილება სასრული დეფორმაციაც. სიჩქარისა და აჩქარების ვექტორები განისაზღვრება \(\boldsymbol{u}\)-ის მატერიალური დროითი წარმოებულებით, მატერიალური წერტილის ფიქსირებისას:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

ამ განტოლებებით განისაზღვრება სიჩქარე და აჩქარება.

დეფორმაციის გრადიენტი და დეფორმაციის ტენზორები¶

დეფორმაციის გრადიენტის ტენზორი¶

სასრული დეფორმაციის უწყვეტი გარემოს მექანიკაში ძირითადი სიდიდეა დეფორმაციის გრადიენტის ტენზორი \(\boldsymbol{F}\). იგი არის წრფივი ასახვა, რომელიც საწყის კონფიგურაციაში უსასრულოდ მცირე მონაკვეთს \(d\boldsymbol{X}\) მიმდინარე კონფიგურაციაში უსასრულოდ მცირე მონაკვეთად \(d\boldsymbol{x}\) გარდაქმნის და განისაზღვრება როგორც მოძრაობის ასახვის გრადიენტი მატერიალური კოორდინატების მიმართ:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

ამგვარად განსაზღვრულია (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). არადეფორმირებულ მდგომარეობაში \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) ფართოდ გამოიყენება დეფორმაციისა და ძაბვის განსაზღვრისთვის და კონფიგურაციებს შორის ფიზიკური სიდიდეების გარდასაქმნელად.

მოცულობის ცვლილების ფარდობა¶

საწყის კონფიგურაციაში უსასრულოდ მცირე მოცულობის \(dV\) და მიმდინარე კონფიგურაციაში შესაბამისი უსასრულოდ მცირე მოცულობის \(dv\) ფარდობას ეწოდება მოცულობის ცვლილების ფარდობა \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

უწყვეტი გარემოს შექცევადობიდან გამომდინარე ვიღებთ \(J > 0\). მასის შენახვის კანონი გამოისახება როგორც \(\rho_0 = J\rho\).

მარჯვენა და მარცხენა Cauchy-Green-ის დეფორმაციის ტენზორები¶

რადგან დეფორმაციის გრადიენტი \(\boldsymbol{F}\) მყარი სხეულის ბრუნვასაც შეიცავს, უშუალოდ დეფორმაციის საზომად გამოიყენება ბრუნვისგან თავისუფალი სიდიდეები. მარჯვენა Cauchy-Green-ის დეფორმაციის ტენზორი \(\boldsymbol{C}\) (საწყისი კონფიგურაცია) და მარცხენა Cauchy-Green-ის დეფორმაციის ტენზორი \(\boldsymbol{b}\) (მიმდინარე კონფიგურაცია) განისაზღვრება როგორც

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

ორივე სიმეტრიული ტენზორია და ერთნაირი საკუთარი მნიშვნელობები აქვს (მთავარი გაჭიმვის ფარდობების კვადრატები). ჰიპერელასტიკური დეფორმაციის ენერგიის ფუნქციების მთავარი ინვარიანტები ამ ტენზორებით გამოისახება.

დეფორმაციის ტენზორები¶

Green-Lagrange-ის დეფორმაციის ტენზორი¶

საწყის კონფიგურაციასთან მიმართებული დეფორმაციის საზომად Green-Lagrange-ის დეფორმაციის ტენზორი \(\boldsymbol{E}\) განისაზღვრება როგორც

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

ეს არის სიმეტრიული ტენზორი, რომელიც საწყის კონფიგურაციაში უსასრულოდ მცირე ვექტორების სკალარული ნამრავლის ცვლილებას აღწერს; იგი უცვლელია მყარი სხეულის ბრუნვის მიმართ და არადეფორმირებულ მდგომარეობაში \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\). თუ გამოვიყენებთ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\), მივიღებთ

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

რაც დეფორმაციას გადაადგილების გრადიენტის პირველი და მეორე რიგის წევრების ჯამად გამოსახავს; მეორე რიგის წევრი გეომეტრიულ არაწრფივობას წარმოადგენს. Total Lagrange-ის მეთოდში იგი გამოიყენება მუშაობით შეუღლებულ წყვილად \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansi-ის დეფორმაციის ტენზორი¶

მიმდინარე კონფიგურაციასთან მიმართებული დეფორმაციის საზომად Almansi-ის დეფორმაციის ტენზორი \(\boldsymbol{e}\) განისაზღვრება როგორც

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

იგი Green-Lagrange-ის დეფორმაციასთან დაკავშირებულია თანაფარდობით \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

მცირე დეფორმაციის ტენზორი¶

როდესაც გადაადგილების გრადიენტი მცირეა (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange-ის დეფორმაციის მეორე რიგის წევრი შეიძლება უგულებელვყოთ. ამასთან, ორ კონფიგურაციას შორის განსხვავება ქრება და მივიღებთ სივრცითი კოორდინატებით ჩაწერილ მცირე დეფორმაციის ტენზორს \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR ამ დეფორმაციის საზომს იყენებს წრფივ სტატიკურ ანალიზში, მოდალურ ანალიზში, სიხშირული გამოძახილის ანალიზში და წრფივ დინამიკურ ანალიზში. სასრული დეფორმაციის ანალიზში Total Lagrange-ის მეთოდი იყენებს \(\boldsymbol{E}\)-ს, ხოლო Updated Lagrange-ის მეთოდი — მიმდინარე კონფიგურაციასთან მიმართებულ დეფორმაციის სიჩქარის ტენზორს \(\boldsymbol{D}\).