გაუმჯობესებული ელემენტების ფორმულირებები¶

სამგანზომილებიანი მყარი ელემენტების ფორმულირებაში აღწერილი გადაადგილებაზე დაფუძნებული სტანდარტული ფორმულირება თითქმის არაკუმშვად მასალებზე ან ღუნვით მართულ თხელკედლიან კონსტრუქციებზე გამოყენებისას ავლენს არარეალურად მაღალ სიხისტეს, რომელსაც ლოკინგი ეწოდება (მოცულობითი ლოკინგი და ძვრის ლოკინგი). ამის თავიდან ასაცილებლად FrontISTR შეიცავს B-bar და F-bar მეთოდებს, რომლებიც ცვლიან მხოლოდ B-მატრიცის ან დეფორმაციის გრადიენტის მოცულობით ნაწილს, შეუთავსებელ ელემენტებს შიდა თავისუფლების ხარისხებით, u-p შერეულ ელემენტებს, სადაც წნევა დამოუკიდებელი უცნობი ველია, აგრეთვე MITC გარსულ და კოჭის ელემენტებს ფირფიტებისა და კოჭოვანი კონსტრუქციებისთვის.

ამ თავში ეს გაუმჯობესებული და კონსტრუქციული ელემენტების ფორმულირებები ელემენტის დონეზეა შეჯამებული.

B-bar მეთოდი¶

როდესაც 8-კვანძიანი წრფივი ჰექსაედრული ელემენტი გამოიყენება თითქმის არაკუმშვადი მასალისთვის, ერთ ელემენტში დეფორმაცია წინააღმდეგობაში შედის მუდმივი მოცულობის შეზღუდვასთან და ჩნდება გადაჭარბებული სიხისტე, რომელსაც მოცულობითი ლოკინგი ეწოდება. B-bar მეთოდი B-მატრიცაში მოცულობით გაფართოებაში მონაწილე კომპონენტებს ელემენტის ცენტრში შეფასებული მნიშვნელობებით ცვლის და ამით ზედმეტ შეზღუდვას ამცირებს [Hughes1980].

ელემენტის ცენტრში \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ფორმის ფუნქციების სივრცითი წარმოებულებიდან გამოთვლილი B-მატრიცა აღვნიშნოთ \(\bar{\boldsymbol{B}}\)-ით, ხოლო ინტეგრაციის წერტილში \(\boldsymbol{r}\) გამოთვლილი ჩვეულებრივი B-მატრიცა — \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\)-ით. კვანძ \(\alpha\)-ის თავისუფლების ხარისხ \(i\)-სთვის გადაადგილება–დეფორმაციის კავშირში მოცულობითი დეფორმაციის კომპონენტებს \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) ემატება

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

ხოლო ძვრის კომპონენტებისთვის \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) გამოიყენება ჩვეულებრივი \(\boldsymbol{B}\). ამგვარად მიღებული B-bar მატრიცით იკრიბება ელემენტის სიხისტე და შიდა ძალის ვექტორი.

FrontISTR-ში ეს ფორმულირება ხელმისაწვდომია მხოლოდ 8-კვანძიანი წრფივი ჰექსაედრული ელემენტისთვის (ელემენტის ID 361, ელემენტების ნომრების სისტემა) და გამოიყენება როგორც მცირე დეფორმაციის, ისე სრული ლაგრანჟისა და განახლებული ლაგრანჟის ფორმულირებებისთვის.

F-bar მეთოდი¶

სასრული დეფორმაციის პირობებში მოცულობის ცვლილება არაწრფივად მოქმედებს დეფორმაციის გრადიენტის \(\boldsymbol{F}\) მეშვეობით, ამიტომ B-bar მეთოდის ანალოგიური მოცულობითი ლოკინგი-ის საწინააღმდეგო კორექცია დეფორმაციის გრადიენტის დონეზე არის F-bar მეთოდი [deSouzaNeto1996].

ელემენტის ცენტრში \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) შეფასებული დეფორმაციის გრადიენტის მოცულობის ფარდობა იყოს \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), ხოლო ინტეგრაციის წერტილში — \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\); ინტეგრაციის წერტილის დეფორმაციის გრადიენტი იცვლება

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

ამით \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) და მოცულობის ფარდობა მთელ ელემენტში ელემენტის ცენტრის მნიშვნელობას უტოლდება. ძაბვის შეფასებისა და დეფორმაცია–გადაადგილების მატრიცის აგებისთვის გამოიყენება ჩანაცვლებული \(\bar{\boldsymbol{F}}\), ხოლო ელემენტის სიხისტის ტანგენტური მატრიცა იკრიბება ამ ჩანაცვლებით გამოწვეული დამატებითი წევრების ჩათვლით.

FrontISTR-ში F-bar მეთოდი განხორციელებულია მხოლოდ 8-კვანძიანი წრფივი ჰექსაედრული ელემენტისთვის და შეიძლება გამოყენებულ იქნეს მცირე დეფორმაციისა და სრული ლაგრანჟი / განახლებული ლაგრანჟი არაწრფივი გეომეტრიის ფორმულირებებში.

შეუთავსებელი ელემენტები¶

8-კვანძიან წრფივ ჰექსაედრულ ელემენტს არ გააჩნია ღუნვის მოდისთვის საჭირო დეფორმაციის თავისუფლების ხარისხები და ღუნვით მართულ ამოცანებში ავლენს ღუნვის ლოკინგი-ს. ამ ნაკლის შესავსებად შეუთავსებელი ელემენტი [Taylor1976] ელემენტის შიგნით დამატებით გადაადგილების მოდებს შემოაქვს.

ელემენტის კვანძურ გადაადგილებებთან \(\boldsymbol{u}^e\) ერთად, თითო ელემენტზე შემოდის მხოლოდ ელემენტის შიგნით არსებული შეუთავსებელი მოდების თავისუფლების ხარისხების ვექტორი \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), სამი მიმართულება × სამი მოდი, და გადაადგილების ველი მიახლოებით იწერება

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

შეუთავსებელი ფორმის ფუნქციებისთვის ბუნებრივ კოორდინატებში \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) აიღება \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\). ისინი ელემენტის საზღვარზე უწყვეტობას არ უზრუნველყოფენ, მაგრამ ელემენტის შიგნით ამატებენ სივრცეს, რომელიც ღუნვის მოდის დეფორმაციას ასახავს.

ელემენტის სიხისტე ჯერ იკრიბება გარე და შიდა თავისუფლების ხარისხების ბლოკურ დაშლად

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

შემდეგ შიდა თავისუფლების ხარისხები იშლება სტატიკური კონდენსაციით \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), რის შედეგადაც გლობალურ ასემბლირებას გადაეცემა მხოლოდ გარე თავისუფლების ხარისხების ელემენტის სიხისტე

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

გადაეცემა გლობალურ ასემბლირებას.

FrontISTR-ში შეუთავსებელი ელემენტი განხორციელებულია მხოლოდ 8-კვანძიანი წრფივი ჰექსაედრული ელემენტისთვის (C3D8IC) და შეიძლება გამოყენებულ იქნეს მცირე დეფორმაციის, სრული ლაგრანჟისა და განახლებული ლაგრანჟის ფორმულირებებში.

U-P შერეული ელემენტი¶

B-bar და F-bar მეთოდები მოცულობით კომპონენტს გადაადგილებაზე დაფუძნებული ჩარჩოს შიგნით ასწორებენ, ხოლო u-p შერეული (U-P) ელემენტი არის შერეული ფორმულირება [Bathe1996], რომელიც წნევას \(\lambda\) გადაადგილებისგან დამოუკიდებელ უცნობ ველად შემოაქვს. თითქმის არაკუმშვადი მასალებისთვის (მაგალითად, რეზინისმაგვარი მასალა Poisson-ის კოეფიციენტით ძალიან ახლოს 0.5-თან ან ლითონი პლასტიკური დეფორმაციის შემდეგ), მხოლოდ გადაადგილების ველით მუდმივი მოცულობის შეზღუდვის დაკმაყოფილება მოცულობით ლოკინგს იწვევს, ხოლო წნევის დამოუკიდებელ ცვლადად შეტანა ამ შეზღუდვას ამსუბუქებს.

ძაბვა იყოფა დევიატორულ კომპონენტად და წნევად და იწერება

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

აქ \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) არის დევიატორული ელასტიკურობის მატრიცა, რომელიც მიიღება ელასტიკურობის მატრიციდან მოცულობითი ნაწილის, რომელიც პროპორციულია მოცულობითი მოდულის \(K\)-ს, გამოკლებით. წნევა \(\lambda\) და მოცულობითი დეფორმაცია \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) დაკავშირებულია კუმშვადობის \(\alpha^{-1} = 1/K\) საშუალებით მოცემული შეზღუდვის პირობით

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

გადაადგილების \(\boldsymbol{u}\) და წნევის \(\lambda\) უცნობებად დისკრეტიზაციიდან მიიღება ელემენტის შეკრული სისტემა

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

აქ \(\mathbf{K}_{uu}\) შეიცავს დევიატორულ ელასტიკურ კომპონენტს და (სასრული დეფორმაციის შემთხვევაში) გეომეტრიულ სიხისტეს; \(\mathbf{K}_{up}\) არის მოცულობით დეფორმაციასა და წნევას შორის შემაკავშირებელი მატრიცა; \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) არის წნევის სტაბილიზაციის წევრი (\(\boldsymbol{N}_p\) არის წნევის ფორმის ფუნქცია). რადგან წნევის თავისუფლების ხარისხები ელემენტის შიგნითაა ჩაკეტილი,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ისინი სტატიკური კონდენსაციით გარდაიქმნება შემდეგ ფორმად და გლობალურ ასემბლირებას გადაეცემა მხოლოდ გარე (გადაადგილების) თავისუფლების ხარისხების ეფექტური სიხისტე.

FrontISTR-ში U-P ელემენტი განხორციელებულია მხოლოდ 8-კვანძიანი წრფივი ჰექსაედრული ელემენტისთვის; თითო ელემენტზე წნევის ერთი თავისუფლების ხარისხია (მუდმივი ელემენტის შიგნით). იგი გამოიყენება მცირე დეფორმაციის, სრული ლაგრანჟისა და განახლებული ლაგრანჟის ფორმულირებებში. განახლებული ლაგრანჟის შემთხვევაში დევიატორული ძაბვა განახლდება ობიექტური ძაბვის სიჩქარით (Jaumann / Hughes-Winget ტიპი), რის შემდეგაც წნევა \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) მიენიჭება სტატიკური კონდენსაციით მიღებული მნიშვნელობიდან.

გარსული ელემენტები¶

თხელკედლიანი ფირფიტა-გარსული კონსტრუქციებისთვის გამოიყენება Reissner-Mindlin-ის ფირფიტა-გარსის თეორიაზე დაფუძნებული გარსული ელემენტები. დაბალი რიგის გადაადგილებაზე დაფუძნებულ ფირფიტა-გარსულ ელემენტებში სისქის შემცირებასთან ერთად განივი ძვრის დეფორმაცია ზედმეტად ფასდება მოცულობითი ლოკინგი-ის მსგავსი მექანიზმით (ძვრის ლოკინგი), რის გამოც ღუნვის მოდის სიხისტე უსაზღვროდ იზრდება. MITC (ტენზორული კომპონენტების შერეული ინტერპოლაციის) მეთოდი [Dvorkin1984] [Bathe1986] ამ პრობლემას თავიდან იცილებს: მხოლოდ ძვრის დეფორმაციის კომპონენტები ხელახლა ნიმუშდება ელემენტში წინასწარ განსაზღვრულ შებმის წერტილებზე და მიღებული ნიმუშები კვლავ ინტერპოლირდება ელემენტის შიგნით.

MITC გარსული ელემენტის კვანძები მდებარეობს მრუდე ზედაპირის შუა ზედაპირზე; თითო კვანძს აქვს 6 თავისუფლების ხარისხი — სამი ტრანსლაცია და სამი ბრუნვა შუა ზედაპირის ნორმალის გარშემო. ელემენტის სიხისტე ფასდება შუა ზედაპირის ბუნებრივ კოორდინატებსა და სისქის მიმართულებაში ჯამურად სამგანზომილებიანი Gauss-ის ინტეგრირებით; ფირფიტის სისქე \(h\) კონსტიტუციური კანონის გამოთვლისას მიეწოდება როგორც ელემენტის ატრიბუტი.

FrontISTR უზრუნველყოფს ერთშრიან შუა ზედაპირიან MITC3 (ელემენტის ID 731), MITC4 (741) და MITC9 (743) ელემენტებს, აგრეთვე შრეობრივ გარსულ ელემენტებს MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 კვანძი, თითო კვანძზე 3 თავისუფლების ხარისხი) და MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 კვანძი, თითო კვანძზე 3 თავისუფლების ხარისხი), სადაც კვანძები სისქის მიმართულებით ორ შრედაა განლაგებული. შრეობრივ გარსულ ელემენტებში კვანძური თავისუფლების ხარისხები მხოლოდ სამი ტრანსლაციაა, ხოლო ბრუნვითი თავისუფლების ხარისხების შესაბამისი ღუნვის მოდი ორი შრის განლაგებით გამოიხატება.

კოჭის ელემენტები¶

ძელები და ჩარჩოები, როგორც ხაზოვანი კონსტრუქციები, კოჭის ელემენტებით დისკრეტიზდება. FrontISTR იყენებს Timoshenko-ს კოჭის ფორმულირებას, რომელიც ითვალისწინებს ძვრის დეფორმაციას და როგორც ღუნვას, ისე ძვრას აღწერს გადაადგილებისა და ბრუნვის თავისუფლების ხარისხების ფუნქციებად.

კოჭის ელემენტის კვანძს აქვს 6 თავისუფლების ხარისხი — სამი ტრანსლაცია და სამი ბრუნვა ღერძისა და განივი ღერძების გარშემო; ელემენტის სიხისტე ფასდება კოჭის ღერძის მიმართულებით ერთგანზომილებიანი რიცხვითი ინტეგრირებით. განივკვეთის ფართობი \(A\) და ღუნვა/გრეხვის მიმართულებების ფართობის მეორე მომენტები \(I\) ელემენტის ატრიბუტებად მიეწოდება როგორც კოჭის განივკვეთის მუდმივები და მასალის Young-ის მოდულთან \(E\) და ძვრის მოდულთან \(G\) ერთად ქმნის გაჭიმვის, ღუნვის, გრეხვისა და ძვრის სიხისტის კოეფიციენტებს.

FrontISTR უზრუნველყოფს 2-კვანძიან სწორ კოჭის ელემენტს (ელემენტის ID 611) და 3 კვანძით წარმოდგენილ 4-კვანძიანი ტეტრაედრული მყარი ელემენტი–კოჭის ჰიბრიდულ ელემენტს (641, შერეული თავისუფლების ხარისხებისთვის).

დაკავშირებული თემები¶

სამგანზომილებიანი მყარი ელემენტების ფორმულირება — შედარება სტანდარტულ ფორმულირებასთან
ელემენტების ნომრების სისტემა და ფორმის ფუნქციების ბიბლიოთეკა — ელემენტის ტიპის ID
ელემენტების ბიბლიოთეკა (ფუნქციები) — თითოეული ელემენტის არჩევის სახელმძღვანელო