სამგანზომილებიანი მყარი ელემენტების ფორმის ფუნქციები¶

ამ თავში შეჯამებულია ფორმის ფუნქციები და სასრული ელემენტების მიახლოება-ში შემოტანილი ფორმის ფუნქციების \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) ბუნებრივი კოორდინატთა სისტემები და კონკრეტული ფორმები FrontISTR-ის უწყვეტი გარემოს ანალიზში გამოყენებული სამგანზომილებიანი მყარი ელემენტებისთვის. განხილულია ექვსი ტიპი: პირველი/მეორე რიგის ტეტრაედრები (341/342), პირველი/მეორე რიგის სამკუთხა პრიზმები (351/352) და პირველი/მეორე რიგის ჰექსაედრები (361/362). HEC-MW ბადის ფორმატში კვანძების მიმდევრობისა და წახნაგების ნომრებისთვის იხილეთ ფუნქციების ცნობარის ელემენტების ბიბლიოთეკა.

ამ ფორმის ფუნქციებითა და Jacobian-ის დეტერმინანტით ელემენტური ინტეგრალის აგების პროცედურა აღწერილია რიცხვით ინტეგრირებაში. 361-ის B-bar, F-bar და შეუთავსებელი ფორმულირებები, აგრეთვე კოჭისა და გარსის ელემენტების ფორმის ფუნქციები განხილულია მაღალეფექტური ელემენტების ფორმულირებებში.

ბუნებრივი კოორდინატთა სისტემები და შიდა კვანძების მიმდევრობა¶

ფორმის ფუნქციები განისაზღვრება თითოეული ელემენტის ბუნებრივ კოორდინატებზე \(\boldsymbol{r}\). სამგანზომილებიანი მყარი ელემენტებისთვის ელემენტის ფორმის მიხედვით გამოიყენება შემდეგი სამი ბუნებრივი კოორდინატთა სისტემა.

ჰექსაედრები (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
ტეტრაედრები (341/342): მოცულობითი კოორდინატები \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), სადაც \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) და \(L_i \ge 0\). დამოუკიდებელ ცვლადებად აიღება \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\), ხოლო \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
სამკუთხა პრიზმები (351/352): ფუძის სამკუთხედის მოცულობითი კოორდინატები \((\xi, \eta)\) (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) ერთიანდება ღერძულ კოორდინატთან \(\zeta \in [-1, 1]\), რის შედეგადაც \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). დამხმარე სიდიდე \(a = 1 - \xi - \eta\) გამოიყენება ფუძის მესამე მოცულობით კოორდინატად.

პირველი რიგის ელემენტებისთვის ელემენტის კვანძების ნომრაცია HEC-MW-ის შეყვანის ფორმატსა და შიდა ფორმატში ემთხვევა. მეორე რიგის ელემენტებში კიდის შუა კვანძების მიმდევრობის წესები განსხვავდება: FrontISTR შეყვანად იღებს HEC-MW ფორმატს (ჯერ კუთხის კვანძები ელემენტის გარშემო, შემდეგ შუა კვანძები კიდეების 1-2, 2-3, … რიგით), ხოლო ელემენტების ბიბლიოთეკის ფორმის ფუნქციები სხვა კვანძურ მიმდევრობას ეყრდნობა.

ამ ორ ფორმატს შორის განსხვავებას აღმოფხვრის hecmw2fstr_mesh_conv, რომელიც ბადის წაკითხვისთანავე გამოიძახება და თითოეული ელემენტის კვანძებს გადაალაგებს. სამგანზომილებიანი მყარი ელემენტებიდან გარდაქმნა ეხება შემდეგ ორ ტიპს.

ელემენტის ტიპი	გარდაქმნის ცხრილი	აღწერა
342 (მეორე რიგის ტეტრაედრი)	`Table342`	10 კვანძს გადაალაგებს მიმდევრობად \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (მეორე რიგის სამკუთხა პრიზმა)	`Table352`	15 კვანძს გადაალაგებს მიმდევრობად \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

რადგან გადალაგება უშუალოდ ელემენტების დაკავშირების ინფორმაციის მასივზე სრულდება, ელემენტების ბიბლიოთეკის ყველა შემდგომი გამოძახება FrontISTR-ის შიდა კვანძურ მიმდევრობას იყენებს. მეორე რიგის ჰექსაედრ 362-ს გარდაქმნის ცხრილი არ აქვს, რადგან HEC-MW-ის შეყვანასა და FrontISTR-ის შიდა ფორმატში შუა კვანძების მიმდევრობა ემთხვევა. შედეგების გამოტანისას შებრუნებული გარდაქმნა fstr2hecmw_mesh_conv კვანძებს კვლავ HEC-MW-ის მიმდევრობაში აბრუნებს და შემდეგ წერს, ამიტომ მომხმარებელს როგორც შეყვანისას, ისე გამოტანისას მხოლოდ HEC-MW ფორმატი უნდა გაითვალისწინოს. ქვემოთ მოცემულ ფორმის ფუნქციებში კვანძების ნომრები უკვე გარდაქმნილ FrontISTR-ის შიდა ფორმატს შეესაბამება.

პირველი რიგის ელემენტების ფორმის ფუნქციები¶

პირველი რიგის ტეტრაედრული ელემენტის (341) ფორმის ფუნქციები თავად მოცულობითი კოორდინატებია:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

პირველი რიგის სამკუთხა პრიზმის ელემენტის (351) ფორმის ფუნქციები არის ფუძის სამკუთხედის წრფივი ფორმის ფუნქციების (\(a, \xi, \eta\)) და ღერძული მიმართულების წრფივი ფორმის ფუნქციების (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)) ნამრავლები:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

პირველი რიგის ჰექსაედრული ელემენტის (361) ფორმის ფუნქციები სამი კოორდინატული მიმართულების წრფივი ფორმის ფუნქციების ტენზორული ნამრავლებია:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

აქ \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) არის კვანძი \(\alpha\)-ს ბუნებრივი კოორდინატების მნიშვნელობები (თითოეული კომპონენტი \(\pm 1\)).

მეორე რიგის ელემენტების ფორმის ფუნქციები¶

მეორე რიგის ტეტრაედრული ელემენტის (342) ფორმის ფუნქციები იყოფა ოთხ კუთხის და ექვს კიდის შუა კვანძად:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

შუა კვანძები 5–10 შესაბამისად შეესაბამება კიდეების 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 და 3-4 შუა წერტილებს.

მეორე რიგის სამკუთხა პრიზმის ელემენტი (352) შედგება ექვსი კუთხის კვანძისგან, სამკუთხა წახნაგებზე ექვსი კიდის შუა კვანძისგან და ღერძული კიდეების სამი შუა კვანძისგან:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

შუა კვანძები 7–9 შეესაბამება ქვედა სამკუთხედის (\(\zeta = -1\)) კიდეების შუა წერტილებს, 10–12 — ზედა სამკუთხედის (\(\zeta = +1\)) კიდეების შუა წერტილებს, ხოლო 13–15 — ღერძული კიდეების შუა წერტილებს.

მეორე რიგის ჰექსაედრული ელემენტი (362) არის Serendipity-ის ოჯახის 20-კვანძიანი ელემენტი. კვანძი \(\alpha\)-ს ბუნებრივი კოორდინატები აღვნიშნოთ \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\)-ით. კუთხის კვანძებისთვის (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), თითოეული კომპონენტი \(\pm 1\))

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

კიდის შუა კვანძებისთვის (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), სადაც სამი ბუნებრივი კოორდინატიდან ერთი \(0\)-ია, დანარჩენი ორი კი \(\pm 1\)), \(\xi_\alpha = 0\)-ის მქონე კვანძებისთვის (კიდის მიმართულება \(\xi\) ღერძია)

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

კიდის მიმართულება \(\eta\) ან \(\zeta\) ღერძის მქონე შუა კვანძებიც ანალოგიურად განისაზღვრება, შესაბამისი ბუნებრივი კოორდინატის კვადრატული წევრით გამორიცხვით.

დაკავშირებული თემები¶

ფორმის ფუნქციები და სასრული ელემენტების მიახლოება — ფორმის ფუნქციების \(N_\alpha^e\) მათემატიკური განსაზღვრა
ფორმის ფუნქციების სივრცითი წარმოებულები — ფორმის ფუნქციების გლობალური კოორდინატებით წარმოებულები და Jacobian
რიცხვითი ინტეგრირება — ინტეგრირების წერტილები, წონები და ელემენტური ინტეგრალის მიახლოება
მაღალეფექტური ელემენტების ფორმულირებები — B-bar, F-bar, შეუთავსებელი ელემენტები, გარსები და კოჭები
ელემენტების ბიბლიოთეკა (ფუნქციები) — HEC-MW ფორმატში კვანძების მიმდევრობა და წახნაგების ნომრები
ფიზიკური სიდიდეების სიმბოლოების სია