რიცხვითი ინტეგრაცია¶

შიდა ძალის ვირტუალური მუშაობის დისკრეტიზაციაში და გარე ძალის ვირტუალურ მუშაობასა და გლობალური განტოლების აწყობაში მიღებული ელემენტის შიდა ძალის ვექტორები \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) და ელემენტის სიხისტის მატრიცა \(\boldsymbol{K}^e\) ელემენტის არე \(\Omega^e\) ან \(\Omega^e_0\)-ზე ინტეგრალების სახითაა მოცემული. FrontISTR მათ Gauss-ის ინტეგრაციის ფორმულით რიცხვობრივად აფასებს.

Gauss-ის ინტეგრაციის ფორმულა და ცვლადთა გარდაქმნა¶

Gauss-ის ინტეგრაციის ფორმულა სტანდარტულ არე \(\Xi\)-ზე ინტეგრალს მიახლოებით წარმოადგენს ინტეგრაციის წერტილებში \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) ინტეგრირებადი ფუნქციის მნიშვნელობებისა და წონების \(w_i\) წრფივი ჯამით. ელემენტის არე \(\Omega^e\)-ზე გამოყენებისას საჭიროა ცვლადთა გარდაქმნა ასახვით \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\) და მიიღება

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

სადაც \(n_q\) არის ინტეგრაციის წერტილების რაოდენობა, ხოლო \(J_{\xi_i}\) — გარდაქმნის იაკობიანის დეტერმინანტი. სტანდარტული არე \(\Xi\) ელემენტის ტიპის მიხედვით განისაზღვრება (ჰექსაჰედრისთვის \([-1,1]^3\), სამკუთხედის, ტეტრაედრისა და სოლის ფორმისთვის — შესაბამისი საცნობარო ფორმები), ხოლო ინტეგრაციის წერტილები \(\boldsymbol{\xi}_i\) და წონები \(w_i\) რიცხვითი ცხრილებითაა მოცემული. ზედაპირული ინტეგრალებიც იმავე ფორმით მუშავდება ელემენტის ზედაპირის ორგანზომილებიანი სტანდარტული არიდან ასახვით.

FrontISTR-ში გამოყენებული ძირითადი ინტეგრაციის წერტილების რაოდენობა ქვემოთაა ნაჩვენები (ელემენტის ტიპებთან შესაბამისობისთვის იხილეთ ელემენტების ნომრების სისტემა და ფორმის ფუნქციების ბიბლიოთეკა).

ელემენტის ტიპი	ინტეგრაციის ფორმულა	ინტეგრაციის წერტილების რაოდენობა
4-კვანძიანი ტეტრაედრი (`tet4n`)	1-წერტილიანი ფორმულა	1
10-კვანძიანი ტეტრაედრი (`tet10n`)	4-წერტილიანი ფორმულა	4
6-კვანძიანი სამკუთხა პრიზმა (`prism6n`)	2-წერტილიანი ფორმულა	2
15-კვანძიანი სამკუთხა პრიზმა (`prism15n`)	9-წერტილიანი ფორმულა	9
8-კვანძიანი ჰექსაჰედრი (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-კვანძიანი ჰექსაჰედრი (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-კვანძიანი ოთხკუთხედი (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-კვანძიანი ოთხკუთხედი (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-კვანძიანი სამკუთხედი (`tri3n`)	1-წერტილიანი ფორმულა	1
6-კვანძიანი სამკუთხედი (`tri6n`)	3-წერტილიანი ფორმულა	3

ჰექსაჰედრულ, ოთხკუთხა და ხაზოვან ელემენტებში გამოიყენება თითოეული ღერძის მიმართულების Gauss-Legendre-ის ფორმულების ტენზორული ნამრავლი. სამკუთხედისთვის, ტეტრაედრისა და სამკუთხა პრიზმისთვის გამოიყენება სიმპლექსურ ფორმებთან მორგებული სპეციალური ფორმულები — წერტილთა განლაგებები, რომლებიც პოლინომებს უშუალოდ შესაბამის სტანდარტულ ფორმაზე ზუსტად აინტეგრირებს.

ელემენტის ინტეგრალზე გამოყენება¶

ელემენტის ინტეგრაციისას ბუნებრივი კოორდინატები \(\boldsymbol{r}\) გამოიყენება სტანდარტული არის კოორდინატებად (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), ხოლო ფიზიკურ კოორდინატებზე ასახვა მიიღება კვანძის კოორდინატების ფორმის ფუნქციებით ინტერპოლაციით. საცნობარო კონფიგურაციის არჩევის (ნაზრდული ანალიზის ჩარჩო) მიხედვით გამოიყენება შემდეგი ფორმები.

Total Lagrange-ის მეთოდი (ინტეგრაცია საწყის კონფიგურაციაში \(\Omega^e_0\)): ასახვა და იაკობიანი განისაზღვრება როგორც

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

და ელემენტის შიდა ძალა და სიხისტის მატრიცა მიახლოებით არის

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

\(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) ყველა ფასდება ინტეგრაციის წერტილში \(\boldsymbol{r}_i\).

Updated Lagrange-ის მეთოდი (ინტეგრაცია მიმდინარე კონფიგურაციაში \(\Omega^e\)): ასახვა და იაკობიანი განისაზღვრება როგორც

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

და

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

მიახლოებით გამოითვლება.

ორ ფორმულირებას შორის განსხვავება მხოლოდ ისაა, რომ ასახვის შემავალ კვანძურ კოორდინატად გამოიყენება \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) ან \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); ინტეგრაციის წერტილები, წონები და ინტეგრაციის წერტილების ციკლის სტრუქტურა საერთო რჩება.

სრული ინტეგრაცია და შემცირებული რიგის ინტეგრაცია¶

ინტეგრაციას, რომელიც იყენებს იმდენ ინტეგრაციის წერტილს, რამდენიც საჭიროა ინტეგრირებადი ფუნქციის პოლინომური ხარისხის ზუსტად დასაინტეგრირებლად, სრული ინტეგრაცია ეწოდება; ერთ საფეხურით ნაკლები ინტეგრაციის წერტილების გამოყენებას — შემცირებული რიგის ინტეგრაცია. შემცირებული ინტეგრაცია გამოიყენება ჭრისა და მოცულობითი locking-ის შესამსუბუქებლად, თუმცა იგი მოითხოვს ყალბი დეფორმაციის მოდების, მაგალითად hourglass მოდების, დამუშავებას. თითოეული ელემენტის ტიპისთვის ინტეგრაციის წერტილების რაოდენობა და სრული/შემცირებული ინტეგრაციის არჩევა განხილულია ელემენტების ნომრების სისტემასა და ფორმის ფუნქციების ბიბლიოთეკაში და შემდგომ, აგრეთვე მაღალი წარმადობის ელემენტების ფორმულირებაში.

დაკავშირებული თემები¶

ფორმის ფუნქციების სივრცითი წარმოებულები — იაკობიანის გამოთვლა
შიდა ძალის ვირტუალური მუშაობის დისკრეტიზაცია — რიცხვითი ინტეგრაციის ობიექტი
მაღალი წარმადობის ელემენტების ფორმულირება — შემცირებული რიგის ინტეგრაციის გამოყენება