შიგთავსზე გადასვლა

გარე ძალის ვირტუალური მუშაობა და გლობალური განტოლების აწყობა

შიდა ძალის ვირტუალური მუშაობის დისკრეტიზაციაში სუსტი ფორმის მარცხენა მხარე გაერთიანდა ელემენტის შიდა ძალის ვექტორად \(\boldsymbol{q}^e\) (UL მეთოდი) ან \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL მეთოდი). ამ თავში გარე ძალის ვირტუალური მუშაობიდან შემოდის ელემენტის კვანძური გარე ძალის ვექტორი \(\boldsymbol{F}^e\), შემდეგ ელემენტის კვანძური ფიზიკური სიდიდეები გლობალური კვანძების ნომრების მიხედვით აიწყობა და საბოლოოდ მიიღება კვანძურ გადაადგილებებზე არაწრფივი განტოლებების სისტემა, რომელსაც FrontISTR-ის არაწრფივი სტრუქტურული ანალიზი ხსნის.

გარე ძალის ვირტუალური მუშაობის ელემენტებად დაშლა

ვირტუალური მუშაობის პრინციპის მარჯვენა მხარე შეიძლება თითოეული ელემენტისთვის დაიშალოს გარე ძალის ვირტუალურ მუშაობად, რომელიც შედგება მოცულობითი ძალისა (სხეულის ძალა) და მექანიკურ საზღვარზე მოცემული ზედაპირული ძალისგან. ფორმის ფუნქციებსა და სასრული ელემენტების მიახლოებაში შემოტანილი გადაადგილების ინტერპოლაციის მატრიცული ჩაწერისთვის კვანძი \(\alpha\)-ს ფორმის ფუნქცია \(N_\alpha^e\) განთავსდეს \(d \times d\) დიაგონალურ ბლოკში \(\boldsymbol{N}_\alpha\), ხოლო ეს ბლოკები ჰორიზონტალურად გაერთიანდეს \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\)-ად, ისე რომ \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). მისი საწყის კონფიგურაციაში დაწერილ გარე ძალის ვირტუალურ მუშაობაში ჩასმით მიიღება

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

აქ ელემენტის კვანძური გარე ძალის ვექტორი განლაგებულია როგორც \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). შედეგად გარე ძალის ვირტუალური მუშაობა, შიდა ძალის მხარის მსგავსად, ერთიანდება „ელემენტის კვანძური ვექტორი × სატესტო ფუნქცია“ ფორმაში (მიმდინარე კონფიგურაციაშიც ფორმა იგივე რჩება ჩანაცვლებებით \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

ელემენტის კვანძური ფიზიკური სიდიდეების აწყობა

თითოეული ელემენტისთვის მიღებული კვანძური ფიზიკური სიდიდეები \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) გროვდება გლობალურ ვექტორში, რომელიც გლობალური კვანძების ნომრებითაა დალაგებული. თუ ელემენტ \(\Omega^e\)-ში ლოკალური კვანძის ნომერ \(\alpha\)-ს შესაბამისი გლობალური კვანძის ნომერი გამოისახება როგორც

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

მაშინ ელემენტის კვანძური ფიზიკური სიდიდე ემთხვევა შესაბამის გლობალურ კვანძურ კომპონენტს (მაგ., \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). ზოგადად კვანძი \(i_g\) რამდენიმე ელემენტს ეკუთვნის, ამიტომ ყველა \((e, \alpha)\) წყვილის სიმრავლე, რომლის გლობალური კვანძის ნომერია \(i_g\), განისაზღვრება როგორც

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

და ჯამის \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) სახით გადაწერით ყველა \(n_g\) კვანძისთვის მიიღება კვანძური შიდა ძალა და გლობალური შიდა ძალის ვექტორი

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

\(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) შეესაბამება კვანძ \(i_g\)-ზე მოქმედი ელემენტების კვანძური შიდა ძალების ტოლქმედს და, თუ გარე ძალა არ მოქმედებს და სისტემა წონასწორობაშია, იგი \(\boldsymbol{0}\)-ს უდრის. იგივე პროცედურით UL მეთოდში მიიღება \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) და რიცხვობრივად \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), ამიტომ შემდგომ, გარდა იმ ადგილებისა, სადაც განსხვავება აუცილებელია, გამოიყენება ერთიანი აღნიშვნა \(\boldsymbol{Q}\). გლობალური გარე ძალის ვექტორი \(\boldsymbol{F}\) იგივე აგრეგაციით მიიღება.

რეალიზაციაში სიმრავლე \(\mathcal{E}(i_g)\) ცხადად არ იქმნება; შესაბამისი კომპონენტები ელემენტების ციკლში ჯამდება.

გლობალური შიდა ძალის ვექტორი Q ინიციალიზდეს 0-ით: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (ელემენტების რაოდენობა)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

გლობალური გარე ძალის ვექტორი \(\boldsymbol{F}\) ასევე იგივე პროცედურით იგება. ოპერაციას, რომლის დროსაც ელემენტის კვანძური ფიზიკური სიდიდეები ემატება გლობალური კვანძის ნომრებით დანომრილ ვექტორებსა და მატრიცებს და იქ ინახება, აწყობა (assemble) ეწოდება. ორი კვანძის ნომერზე დამოკიდებული მეორე რიგის ტენზორისთვის (მაგ., სიხისტის მატრიცისთვის) მსგავსი აწყობა მიიღება სიმრავლით \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (კონკრეტული აგებისთვის იხილეთ მხები სიხისტის მატრიცა).

ამოსახსნელი არაწრფივი განტოლება

შიდა და გარე ძალების აწყობის შედეგების ვირტუალური მუშაობის პრინციპში ჩასმით და იმის გათვალისწინებით, რომ იგი სრულდება ნებისმიერი გეომეტრიული სასაზღვრო პირობების დამაკმაყოფილებელი სატესტო ფუნქციისთვის \(\delta\boldsymbol{u}^n\), მიიღება

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

ნაზრდული ანალიზის (ნაზრდული ანალიზის ჩარჩო) კონტექსტში დროის ინდექსის \(_{n+1}\) აღდგენით და გლობალური კვანძური ვექტორის აღმნიშვნელი ზედა ინდექსის \(^n\) გამოტოვებით, ამოსახსნელი განტოლებაა

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

დროის მომენტ \(t_{n+1}\)-ზე კვანძური გადაადგილების \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) საპოვნელად დისკრეტიზებული სასაზღვრო ამოცანა დაიყვანება ამ გადაადგილების მიმართ არაწრფივი განტოლების გეომეტრიულ სასაზღვრო პირობებთან ერთად ამოხსნაზე. განტოლების წრფივიზაცია და მხები სიხისტის მატრიცის აგება განხილულია მხები სიხისტის მატრიცაში, ხოლო იტერაციული ამოხსნა — Newton-Raphson-ის მეთოდში.

დაკავშირებული თემები

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status