შიდა ძალების ვირტუალური მუშაობის დისკრეტიზაცია¶

ნაზრდოვანი ანალიზის ჩარჩოში მოცემული დროის \(t + \Delta t\) ვირტუალური მუშაობის განტოლება საცნობარო კონფიგურაციის არჩევის მიხედვით იყოფა ორ სახედ: განახლებული ლაგრანჟის და სრული ლაგრანჟის ფორმულირებებად. ამ თავში ფორმის ფუნქციებსა და სასრული ელემენტების მიახლოებაში და ფორმის ფუნქციების სივრცით წარმოებულებში შემოღებული სასრული ელემენტების მიახლოება გამოიყენება ორივე ფორმულირების შიდა ძალების ვირტუალური მუშაობის სივრცითი დისკრეტიზაციისთვის და ელემენტის შიდა ძალის ვექტორების \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) და \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL) მისაღებად.

ელემენტ \(e\)-ის შემადგენელი კვანძების \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) გადაადგილებები აღვნიშნოთ \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\)-ით, ხოლო ელემენტის კვანძური გადაადგილებების ვექტორი დავალაგოთ როგორც \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\); ვირტუალური გადაადგილება \(\delta \boldsymbol{u}^e\) განისაზღვრება იმავე წესით. ელემენტის შიგნით გადაადგილება ფორმის ფუნქციებით ინტერპოლირდება როგორც \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

განახლებული ლაგრანჟის ფორმულირების შიდა ძალების ვირტუალური მუშაობა¶

განახლებული ლაგრანჟის ფორმულირებაში საცნობარო კონფიგურაციად გამოიყენება დროის \(t\) მიმდინარე კონფიგურაცია \({}^{t}\Omega\), ხოლო Cauchy-ის ძაბვით \(\boldsymbol{\sigma}\) და Almansi-ის დეფორმაციის წრფივი ნაწილით \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) შიდა ძალების ვირტუალური მუშაობა იწერება როგორც

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)-ის თითოეული კომპონენტი შეიძლება გამოისახოს ფორმის ფუნქციის მიმდინარე კონფიგურაციის კოორდინატების \(\boldsymbol{x}\) მიმართ წარმოებულების \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) და კვანძური ვირტუალური გადაადგილებების \(\delta u^e_{i\alpha}\) წრფივი კომბინაციით; Voigt-ის აღნიშვნაში ეს იწერება როგორც

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

კვანძური ბლოკი \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) არის \(6 \times 3\) მატრიცა, რომელშიც \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) განლაგებულია Voigt-ის წესის მიხედვით, ხოლო \(\boldsymbol{B}_L\) წარმოადგენს UL ფორმულირების დეფორმაცია–გადაადგილების კავშირის მატრიცას. მისი შიდა ძალების ვირტუალურ მუშაობაში ჩასმით და \(\delta \boldsymbol{u}^e\)-ის გამოყოფით მივიღებთ

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

აქ \(\boldsymbol{q}^e\)-ის კვანძური ბლოკი \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) არის ელემენტ \(\Omega^e\)-ის შემადგენელ კვანძ \(\alpha\)-ზე მოქმედი შიდა ძალა.

სრული ლაგრანჟის ფორმულირების შიდა ძალების ვირტუალური მუშაობა¶

სრული ლაგრანჟის ფორმულირებაში საცნობარო კონფიგურაციად გამოიყენება \(\Omega_0\), ხოლო მეორე Piola-Kirchhoff-ის ძაბვით \(\boldsymbol{S}\) და Green-Lagrange-ის დეფორმაციით \(\boldsymbol{E}\) იწერება

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

\(\delta \boldsymbol{E}\) იყოფა ვირტუალური გადაადგილების მიმართ წრფივ წევრად და არაწრფივ წევრად, რომელიც შეიცავს ნამრავლს მიმდინარე გადაადგილების გრადიენტთან \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

წრფივი წევრი შეიძლება გამოისახოს კვანძური ბლოკით \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\), რომელიც მიიღება UL ფორმულირებაში გამოყენებული განლაგების იმავე წესის \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ზე გამოყენებით,

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

(საცნობარო კონფიგურაციის განსხვავების გამო კომპონენტები უბრალოდ იცვლება \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\)-დან \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ზე; აღნიშვნა UL ფორმულირებასთან საერთო რჩება). არაწრფივი წევრი შეიძლება გამოისახოს კვანძური ბლოკით \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\), რომელშიც მიმდინარე გადაადგილების გრადიენტის \(\partial u_k/\partial X_j\) და \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\)-ის ნამრავლები განლაგებულია Voigt-ის წესით,

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

ამრიგად, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), ხოლო \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) არის TL ფორმულირების დეფორმაცია–გადაადგილების კავშირის მატრიცა. მისი შიდა ძალების ვირტუალურ მუშაობაში ჩასმით მივიღებთ

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

კვანძური ბლოკი \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) არის ელემენტ \(\Omega^e_0\)-ის შემადგენელ კვანძ \(\alpha\)-ზე მოქმედი შიდა ძალა.

UL/TL შესაბამისობა და გამოთვლის მიმდინარეობა¶

განახლებული ლაგრანჟისა და სრული ლაგრანჟის ფორმულირებების ელემენტის შიდა ძალის ვექტორები ერთმანეთს შემდეგნაირად შეესაბამება.

პუნქტი	განახლებული ლაგრანჟის ფორმულირება	სრული ლაგრანჟის ფორმულირება
საცნობარო კონფიგურაცია	მიმდინარე კონფიგურაცია \({}^{t}\Omega^e\)	საცნობარო კონფიგურაცია \(\Omega^e_0\)
ძაბვის ტენზორი	Cauchy-ის ძაბვა \(\boldsymbol{\sigma}\)	მეორე PK ძაბვა \(\boldsymbol{S}\)
დეფორმაციის ვარიაცია	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B-მატრიცა	\(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\))	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
ელემენტის შიდა ძალა	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

ორივე მეთოდი შეიძლება დამუშავდეს ერთნაირი პროცედურით: „ფორმის ფუნქციების სივრცითი წარმოებულებიდან \(\boldsymbol{B}_L\)-ის აგება“, „TL ფორმულირებაში მიმდინარე გადაადგილების გრადიენტიდან \(\boldsymbol{B}_{NL}\)-ის აგება და დამატება“, „ძაბვის (\(\boldsymbol{\sigma}\) ან \(\boldsymbol{S}\)) განახლება კონსტიტუციური კანონის მიხედვით“ და „ინტეგრაციის წერტილებში \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) ან \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\)-ის რიცხვითი ინტეგრირება ელემენტის არეზე (რიცხვითი ინტეგრირება)“. რადგან საცნობარო კონფიგურაციის გადართვის (კვანძური კოორდინატებისა და \(\boldsymbol{B}\)-მატრიცის აგების) და ძაბვის ტენზორის ჩანაცვლების გარდა დანარჩენი საერთოა, FrontISTR-ში ორივე მეთოდის შიდა ძალის გამოთვლა ერთ საერთო ქვეპროგრამაშია განხორციელებული. ელემენტის შიდა ძალის ვექტორებიდან \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) გლობალური შიდა ძალის ვექტორის ასემბლირება განხილულია გარე ძალების ვირტუალურ მუშაობასა და გლობალური განტოლების ასემბლირებაში.

დაკავშირებული თემები¶

ვირტუალური მუშაობის პრინციპი — საწყისი განტოლება
ნაზრდოვანი ანალიზის ჩარჩო — TL/UL განშტოების განსაზღვრა
ფორმის ფუნქციების სივრცითი წარმოებულები — B-მატრიცის შემადგენელი ნაწილები
გარე ძალების ვირტუალური მუშაობა და გლობალური განტოლების ასემბლირება — გლობალური შიდა ძალის ვექტორამდე
ტანგენტური სიხისტის მატრიცა — შიდა ძალის დროითი წარმოებულით ლინეარიზაცია
ფიზიკური სიდიდეების სიმბოლოების სია