ელასტოპლასტიკურობა¶

ამ თავში განხილულია FrontISTR-ში გამოყენებული ელასტოპლასტიკური კონსტიტუციური დამოკიდებულებების ჩარჩო. გამოყენებისა და შეყვანის დეტალებისთვის იხილეთ ფუნქციების განყოფილება 03_material.

მოვლენა (პლასტიკური დეფორმაცია)¶

ჯერ განსასაზღვრია (ტექსტი მომდევნო ფაზაში დაემატება).

კონსტიტუციური დამოკიდებულების ჩარჩო¶

FrontISTR იყენებს ასოცირებული დინების წესზე დაფუძნებულ ელასტოპლასტიკურ კონსტიტუციურ დამოკიდებულებას. ეს დამოკიდებულება აღწერს Kirchhoff-ის ძაბვის Jaumann-ის სიჩქარესა და დეფორმაციის სიჩქარის ტენზორს შორის კავშირს, ხოლო დეფორმაციის ანალიზში გამოიყენება განახლებული ლაგრანჟის მეთოდი.

დავუშვათ, ელასტოპლასტიკური სხეულის დენადობის პირობა მოცემულია შემდეგნაირად.

საწყისი დენადობის პირობა:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

შემდგომი დენადობის პირობა:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

სადაც:

\(F\): დენადობის ფუნქცია
\(\sigma_{y_0}\): საწყისი დენადობის ძაბვა
\(\sigma_y\): შემდგომი დენადობის ძაბვა
\(\sigma\): ძაბვის ტენზორი
\(e\): მცირე დეფორმაციის ტენზორი
\(e^p\): პლასტიკური დეფორმაციის ტენზორი
\(\overline{e}^p\): ეკვივალენტური პლასტიკური დეფორმაცია

დავუშვათ, დენადობის ძაბვა–ეკვივალენტური პლასტიკური დეფორმაციის კავშირი ემთხვევა ერთღერძულ მდგომარეობაში ძაბვა–პლასტიკური დეფორმაციის კავშირს.

ძაბვა–პლასტიკური დეფორმაციის კავშირი ერთღერძულ მდგომარეობაში

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

აქ \(H'\) არის დეფორმაციული გამაგრების კოეფიციენტი.

ეკვივალენტური ძაბვა–ეკვივალენტური პლასტიკური დეფორმაციის კავშირი

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

ზოგადად შემდგომი დენადობის ფუნქცია ტემპერატურისა და პლასტიკური დეფორმაციის მუშაობის ფუნქციაა, მაგრამ სიმარტივისთვის აქ მივიჩნევთ, რომ ის მხოლოდ ეკვივალენტური პლასტიკური დეფორმაციის \(\overline{e}^p\) ფუნქციაა. რადგან პლასტიკური დეფორმაციის მიმდინარეობისას \(F = 0\) ყოველთვის უნდა შესრულდეს, აუცილებელია:

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

აქ \(\dot{F}\) აღნიშნავს \(F\)-ის დროით წარმოებულს; შემდგომში ნებისმიერი სიდიდის \(A\) დროით წარმოებულს აღვნიშნავთ \(\dot{A}\)-ით.

დავუშვათ, არსებობს პლასტიკური პოტენციალი \(\Theta\) და პლასტიკური დეფორმაციის სიჩქარე გამოისახება შემდეგნაირად:

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

აქ \(\dot{\lambda}\) არის კოეფიციენტი.

შემდგომ, თუ პლასტიკური პოტენციალი \(\Theta\) ტოლია დენადობის ფუნქციის \(F\), მივიღებთ ასოცირებული დინების შემდეგ წესს:

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

ამ გამოსახულების შეთავსებადობის პირობაში ჩასმით მიიღება:

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

აქ \(D\) არის ელასტიკურობის მატრიცა, ხოლო

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

ელასტოპლასტიკური ძაბვა–დეფორმაციის დამოკიდებულება იწერება შემდეგნაირად:

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

თუ ცნობილია ელასტოპლასტიკური მასალის დენადობის ფუნქცია \(F\), ამ გამოსახულებიდან მიიღება მისი კონსტიტუციური დამოკიდებულება.

დენადობის ფუნქციები¶

ქვემოთ ჩამოთვლილია FrontISTR-ში გამოყენებული ელასტოპლასტიკური დენადობის ფუნქციები.

Von Mises-ის დენადობის ფუნქცია¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

აქ \(J_2\) არის დევიატორული ძაბვის ტენზორის მეორე ინვარიანტი.

Mohr-Coulomb-ის დენადობის ფუნქცია¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

აქ \(\sigma_1, \sigma_3\) არის შესაბამისად მაქსიმალური და მინიმალური მთავარი ძაბვები, \(c\) — შეჭიდულობა, ხოლო \(\phi\) — შიდა ხახუნის კუთხე.

Drucker-Prager-ის დენადობის ფუნქცია¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

აქ მასალის მუდმივები \(\alpha\) და \(\sigma_y\) გამოითვლება მასალის შეჭიდულობისა და ხახუნის კუთხისგან შემდეგნაირად:

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

დაკავშირებული თემები¶

ხაზოვანი ელასტიკურობა — ელასტიკური პასუხი (ელასტოპლასტიკურობის ელასტიკური ნაწილი)
მხები სიხისტის მატრიცა — მასალის არაწრფივობის შემცველი ინკრემენტული ანალიზის მხები სიხისტე
მასალის მონაცემები (ფუნქცია) — დენადობის ფუნქციებისა და გამაგრების კანონების ვარიანტები და არჩევა