წრფივი ელასტიკურობა¶

ამ თავში განხილულია წრფივი ელასტიკური მასალების კონსტიტუციური კანონი (Hooke-ის კანონი). მოდელის არჩევისა და შეყვანის სპეციფიკაციების დეტალებისთვის იხილეთ ფუნქციების განყოფილება 03_material.

მოვლენა (წრფივი ელასტიკური გამოძახილი)¶

წრფივი ელასტიკური სხეული არის მასალა, რომელიც დატვირთვისას საკმარისად მცირე დეფორმაციების არეში აჩვენებს ძაბვასა და დეფორმაციას შორის წრფივ კავშირს და განტვირთვისას სრულიად უბრუნდება საწყის მდგომარეობას, ანუ მისი გამოძახილი შექცევადი და ისტორიაზე დამოუკიდებელია. პლასტიკურობისა და creep-ისგან განსხვავებით, მას არ აქვს მდგომარეობის აღმწერი შიდა ცვლადები (მაგალითად, პლასტიკური ან ბლანტი დეფორმაცია), და ძაბვა ერთმნიშვნელოვნად განისაზღვრება მხოლოდ მიმდინარე დეფორმაციით.

მცირე დეფორმაციის არეში გამოიყენება Cauchy-ის ძაბვა \(\boldsymbol{\sigma}\) და მცირე დეფორმაცია \(\boldsymbol{\varepsilon}\), ხოლო სასრული დეფორმაციის არეში (დიდი ბრუნვის მქონე, მაგრამ მცირე დეფორმაციის ამოცანებში) — მეორე Piola-Kirchhoff-ის ძაბვა \(\boldsymbol{S}\) და Green-Lagrange-ის დეფორმაცია \(\boldsymbol{E}\) (St.Venant-Kirchhoff-ის მასალა).

კონსტიტუციური კანონი¶

იზოტროპული წრფივი ელასტიკური მასალა¶

მცირე დეფორმაციის არეში იზოტროპული Hooke-ის კანონი Lamé-ს მუდმივებით \(\lambda, \mu\) გამოისახება როგორც

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

კომპონენტური სახით

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

და დეფორმაციასთან ორმაგი შეკუმშვით მიიღება \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Lamé-ს მუდმივები Young-ის მოდულთან \(E\) და Poisson-ის კოეფიციენტთან \(\nu\) დაკავშირებულია შემდეგნაირად:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Voigt-ის აღნიშვნაში დეფორმაციის ვექტორს \(\hat{\varepsilon}\) და ძაბვის ვექტორს \(\hat{\sigma}\) შორის კავშირი იწერება როგორც \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), ხოლო სამგანზომილებიანი მასალის მატრიცა \(D\) არის

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

(რეალიზაციაში გამოიყენება ეს მატრიცული წარმოდგენა).

ორთოტროპული წრფივი ელასტიკური მასალა¶

მასალებისთვის, რომელთა ელასტიკური მუდმივები მთავარი ღერძების მიმართულებების მიხედვით განსხვავდება, გამოიყენება ორთოტროპული მოდელი ცხრა დამოუკიდებელი მუდმივით: მთავარი ღერძების მიმართულებებში Young-ის მოდულები \(E_1, E_2, E_3\), მთავარ ღერძებს შორის Poisson-ის კოეფიციენტები \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) და ძვრის მოდულები \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). \(D\) მატრიცის კონკრეტული ფორმისთვის იხილეთ სტანდარტული ლიტერატურა.

სასრული დეფორმაციის არე: St.Venant-Kirchhoff-ის მასალა¶

დიდი ბრუნვის მქონე, მაგრამ მცირე დეფორმაციის ამოცანებში St.Venant-Kirchhoff-ის მასალა გამოიყენება როგორც წრფივი ელასტიკური კანონი მეორე Piola-Kirchhoff-ის ძაბვას \(\boldsymbol{S}\) და Green-Lagrange-ის დეფორმაციას \(\boldsymbol{E}\) შორის:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Lamé-ს მუდმივების \(\lambda, \mu\) განსაზღვრება იგივეა, რაც მცირე დეფორმაციის შემთხვევაში. თუმცა უნდა გავითვალისწინოთ, რომ ძაბვა–დეფორმაციის წყვილის განსაზღვრებები განსხვავდება, ამიტომ ეს მცირე დეფორმაციის Hooke-ის კანონისგან განსხვავებული კონსტიტუციური კანონია.

ჰიპოელასტიკური მასალა¶

Updated Lagrange-ის მეთოდში გამოიყენება ჰიპოელასტიკური მასალა, რომელიც ფარდობითი Kirchhoff-ის ძაბვის ტენზორის Jaumann-ის სიჩქარეს \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) და დეფორმაციის სიჩქარის ტენზორს \(\boldsymbol{D}\) შორის შემდეგ წრფივ ელასტიკურ კანონს იყენებს:

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

აქაც \(\boldsymbol{C}\)-ის Lamé-ს მუდმივებით განსაზღვრა ზემოთ მოცემულის იდენტურია, მაგრამ ძაბვა–დეფორმაციის წყვილი განსხვავებულია, ამიტომ ეს სხვა კონსტიტუციური კანონია. დროითი ინტეგრირების პროცედურით (წინსვლის Euler-ის ინტეგრირება და ცენტრალური სხვაობის მიახლოება) \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\)-ის განახლების დეტალებისთვის იხილეთ tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

გამარტივება ორგანზომილებიანი ანალიზისა და გარსის ელემენტებისთვის¶

ბრტყელი ძაბვა (\(\sigma_{33} = 0\))¶

თხელი ფირფიტებისა და გარსების დატვირთვის აღმწერ ბრტყელი ძაბვის შემთხვევაში მიიღება \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) და გამოიყენება \(D\), საიდანაც სიბრტყის გარეთა დეფორმაციის კომპონენტი \(\varepsilon_{33}\) ალგებრულად არის გამორიცხული:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ბრტყელი დეფორმაცია (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

სისქის მიმართულებით შეზღუდული გრძელი კონსტრუქციის განივი კვეთის აღმწერ ბრტყელი დეფორმაციის შემთხვევაში მიიღება \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

ღერძსიმეტრიული¶

ცილინდრულ კოორდინატებში \((r, \theta, z)\), \(\theta\) მიმართულებით ერთგვაროვანი ამოცანების ღერძსიმეტრიულ ანალიზში ინარჩუნებენ ოთხ კომპონენტს: \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) და \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), და

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

მიიღება.

გარსის ელემენტები (ბრტყელი ძაბვა + განივი ძვრა)¶

გარსის ელემენტებში სიბრტყეში ძაბვა განიხილება როგორც ბრტყელი ძაბვა; დამატებით, განივი ძვრის დეფორმაციის კომპონენტებისთვის \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) გამოიყენება \(\kappa\, G\) ძვრის კორექციის კოეფიციენტით \(\kappa\) (ჩვეულებრივ \(\kappa = 5/6\)). თითოეული ელემენტის დეტალური ფორმულირებისთვის იხილეთ მაღალეფექტური ელემენტების ფორმულირებები. ფუნქციების განყოფილება 03_material-ში მითითება, რომ „გარსის ელემენტები მხოლოდ წრფივ ელასტიკურობას უჭერს მხარს“, ეფუძნება სიბრტყეში მდგომარეობის ბრტყელ ძაბვად განხილვის ამ გამარტივებას.

ტემპერატურაზე დამოკიდებულება¶

Young-ის მოდული \(E\), Poisson-ის კოეფიციენტი \(\nu\) და წრფივი თერმული გაფართოების კოეფიციენტი \(\alpha\) ჩვეულებრივ განისაზღვრება ტემპერატურის \(T\) ფუნქციებად. FrontISTR-ში მნიშვნელობები შეიტანება სასრული ტემპერატურული წერტილების მიმდევრობისთვის \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), ხოლო გამოთვლის დროს ტემპერატურაზე \(T\) მნიშვნელობა განისაზღვრება მეზობელ წერტილებს შორის წრფივი ინტერპოლაციით. დიაპაზონს გარეთ (\(T < T_1\) ან \(T > T_n\)) გამოიყენება უახლოესი ბოლო წერტილის, \(T_1\) ან \(T_n\), მნიშვნელობა (მუდმივი ექსტრაპოლაცია).

თერმული და თბოგამტარობის თვისებების (სიმკვრივე, კუთრი სითბოტევადობა და თბოგამტარობა) ტემპერატურაზე დამოკიდებულებისთვის იხილეთ თერმული თვისებები. ინტერპოლაციის წესები მათთვისაც იგივეა.

დაკავშირებული თემები¶

ტენზორული აღნიშვნები და მათემატიკური საფუძვლები — Voigt-ის აღნიშვნის წესები და მასალის მატრიცა \(D\)-ის როლი
მოძრაობა, დეფორმაცია და დაძაბულობა — დეფორმაციის გრადიენტისა და დეფორმაციის ტენზორის ზოგადი განხილვა
ჰიპერელასტიკურობა — გაფართოება დიდ დეფორმაციებს შემცველ შექცევად გამოძახილზე
ელასტოპლასტიკურობა — ჰიპოელასტიკური და პლასტიკური მოდელები პლასტიკური დეფორმაციით
თერმული თვისებები — თბოგამტარობასა და თერმულ ძაბვასთან დაკავშირებული თვისებები
მასალის მონაცემები (ფუნქციები) — მოდელის ვარიანტები და არჩევა