Sannprófun með einföldu líkani¶

Teygjanleg kyrrstöðugreining¶

Þessi sannprófun notar innspenntan bjálka með neti eins og sýnt er á mynd 9.1.1. Greiningar voru framkvæmdar fyrir sjö tilvik, exA til exG, með mismunandi álagsskilyrðum eins og sýnt er á mynd 9.1.2. Tilvik exG hefur sömu álagsskilyrði og exA en notar beinan leysi.

Sannprófunarniðurstöður hvers álagsskilyrðis eru sýndar í töflum 9.1.1–9.1.7.

Mynd 9.1.1 Dæmi um net innspenntrar bjálka (sexflötungsstök)

	(a) exA, G: Einbeitt álag
	(b) exD: Þyngdarafl
	(c) exB: Dreift yfirborðsálag
	(d) exE: Miðflóttakraftur
	(e) exC: Rúmálag
	(f) exF : Varmaálag

Ólínuleg kyrrstöðugreining¶

(2-1) exnl1: Rúmfræðilega ólínuleg greining¶

Sannprófunarlíkanið fyrir tilvik exI er eins og líkönin fyrir tilvik exA til exG. Mynd 9.1.3 sýnir skýringarmynd sannprófunarlíkansins. Rúmfræðilega ólínuleg greining er framkvæmd á þessu líkani. Sannprófunarniðurstöðurnar eru sýndar í töflu 9.1.8.

Ólínulegi reikningurinn notar 10 álagsskref með álagsaukningu 0,1P upp að lokaálaginu 1,0P.

Mynd 9.1.3 Sannprófunarlíkan

(2-2) exnl2: Teygjuplastísk aflögunargreining¶

Þetta sannprófunarvandamál byggist á National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): Test NL1 frá NAFEMS, og framkvæmir teygjuplastíska aflögunargreiningu sem tekur með rúmfræðilegan ólínuleika og margar herðingarreglur. Mynd 9.1.4 sýnir greiningarlíkanið.

Mynd 9.1.4 Líkan fyrir teygjuplastíska aflögunargreiningu

(1) Sannprófunarskilyrði

(2) Jaðarskilyrði

Allir hnútar sem ekki eru taldir upp hér eru að fullu skorðaðir. Fræðilega lausnin fyrir þetta vandamál er eftirfarandi.

Til samanburðar eru reikningsniðurstöðurnar eftirfarandi.

Snertigreining (1)¶

Þetta sannprófunarvandamál byggist á CGS-4 snertiprófunarvandamáli National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) og prófar snertingu með endanlegri rennslu og núningi. Mynd 9.1.5 sýnir greiningarlíkanið.

Mynd 9.1.5 Líkan snertigreiningar

Jafnvægisskilyrði þessa vandamáls er eftirfarandi.

Á viðloðunarfasa núnings er núningskrafturinn [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] og á renninúningsfasa er hann [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] því fæst.

Samanburður reikningsniðurstaðna og fræðilegrar lausnar er eftirfarandi.

Snertigreining (2): Hertz-snertivandamál¶

Þessi sannprófun greinir Hertz-snertivandamál milli óendanlega langs sívalnings og óendanlegs flatar. Radíus sívalningsins er R=8mm og Young-stuðull E og Poisson-hlutfall µ aflögunarhæfa hlutans eru 1100Mpa og 0,0. Gert er ráð fyrir að snertiflöturinn sé nægilega lítill miðað við radíus sívalningsins og, með hliðsjón af samhverfu vandamálsins, er greint fjórðungslíkan sívalnings.

Mynd 9.1.6 Greiningarlíkan fyrir Hertz-snertivandamálið

(1) Sannprófunarniðurstöður snertiradíuss¶

Fræðilega formúlan til að reikna snertiradíusinn er eftirfarandi:

þar sem [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] gildir. Við núverandi reikningsskilyrði, þegar þrýstingurinn er \(F=100\), er snertiradíusinn \(a=1.36\).

Mynd 9.1.7 sýnir jafngilda hnútakrafta á snertipunktunum. Snertiradíusinn fæst með framreikningi þessarar dreifingar hnútaafla.

Mynd 9.1.7 Dreifing jafngildra hnútaafla á snertipunktum

(2) Sannprófunarniðurstöður fyrir hámarksskerspennu¶

Í fræðilegu lausninni, við snertistöðuna [ z = 0.78a ] er hámarksskerspennan [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] gildir. Við núverandi reikningsskilyrði, [ \tau_{\max} = 14.2 ] því fæst. Til samanburðar gefur reikningurinn [ \tau_{\max} = 15.6 ] Þetta er reikningsniðurstaðan.

Mynd 9.1.8 Dreifing skerspennu (hámarksgildi = 15.6)

(3) Eiginsveiflgreining¶

Sannprófunarlíkönin fyrir tilvik exJ og exK eru eins og líkönin fyrir tilvik exA til exG. Mynd 9.1.9 sýnir skýringarmynd sannprófunarlíkansins. Eiginsveiflgreining er framkvæmd á þessu líkani. Fyrsta til þriðja eigingildi eru reiknuð. Tilvik exJ notar ítrekaðan leysi en tilvik exK beinan leysi. Sannprófunarniðurstöðurnar eru sýndar í töflum 9.1.9 til 9.1.12.

Mynd 9.1.9 Sannprófunarlíkan

Eigintíðnir innspennta bjálkans fást úr eftirfarandi jöfnum.

Fyrsti sveifluháttur [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Annar sveifluháttur [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Þriðji sveifluháttur [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Eiginleikagildi sannprófunarlíkansins eru

Eigingildin upp að þriðja sveifluhætti eru því eftirfarandi:

Athugið: Í þrívíðu (3D) líkönunum hafa fyrsta og annað gildi jafnar rætur. Því táknar annað gildið í töflunni þriðja reikningsgildið.

Athugið: Í þrívíddarlíkönunum eru fyrsta og annað eigingildið tvöföld rót. Þess vegna er þriðja reiknaða gildið skráð sem annað gildi í töflunni.

(4) Varmaleiðnigreining¶

Sameiginleg skilyrði fyrir stöðugar varmaleiðnigreiningar eru sýnd á mynd 9.1.10. Sérstök skilyrði sannprófunartilvika exM til exT eru sýnd á mynd 9.1.11. Netskiptingin jafngildir þeirri sem notuð er fyrir exA.

Sannprófunarniðurstöður (tafla hitastigsdreifingar) hvers tilviks eru sýndar í töflum 9.1.13–9.1.20.

Hitastigsháð varmaleiðni

exM: Línulegt efni
exN: Vandamál með tilgreindu hitastigi
exO: Vandamál með einbeittu varmaflæði
exP: Vandamál með dreifðu varmaflæði
exQ: Vandamál með varmaflutningi með iðustreymi
exR: Vandamál með geislunarvarmaflutningi
exS: Vandamál með rúmvarmamyndun
exT: Vandamál með innra bili

(5) Línuleg hreyfigreining¶

Í exW er línuleg hreyfigreining framkvæmd á sama innspennta bjálka og í lið (1). Mynd 9.1.12 sýnir sannprófunarskilyrðin. Fyrir sömu netskiptingu eru áhrif tímaskrefsins á niðurstöðurnar sannprófuð. Bæði óbein og bein tímaheildunaraðferð eru notuð, með stakagerðum 361 og 342. Sannprófunarniðurstöðurnar eru sýndar í töflu 9.1.22 og myndum 9.1.13 til 9.1.15.

Fræðilega lausnin fyrir færslu sveiflupunkts er eftirfarandi:

þar sem

Sannprófunarskilyrði:

Tíðnisvörunargreining¶

Í þessari sannprófun er tíðnisvörunargreining framkvæmd á innspenntum bjálka og sannprófuð með samanburði við niðurstöður almenns viðskiptalegs leysis. Greiningarlíkanið og sannprófunarskilyrðin eru sýnd hér að neðan.

Greiningarskilyrði:

Eigingildin upp að fimmta stigi og tíðnisvörun sveiflupunktanna sem fæst úr eigingildisgreiningu eru eftirfarandi: