Meðhöndlun rúmfræðilegra jaðarskilyrða¶

Newton-Raphson-aðferðin leysir línulegu jöfnuna \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) í hverri ítrun, en rúmfræðileg jaðarskilyrði (færsluskilyrði) hafa enn ekki verið felld inn í jöfnuna. Í þessum kafla er sýnt hvernig stífleikafylkinu \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) og leifarvigrinum \(\boldsymbol{K}\) er breytt fyrir þær frelsisgráður sem færsluskilyrðið \(\boldsymbol{R}\) gildir um, þannig að færslan eftir ítrun nái fyrirfram gefnu gildi. Fjölpunktaskilyrði (MPC) og ólínuleg skilyrði vegna snertingar eru meðhöndluð sérstaklega; sjá Fjölpunktaskilyrði og Snerting.

Stefna um að halda færsluskilyrðum sem óþekktum stærðum¶

Færsla hnúts sem fellur undir rúmfræðilegt jaðarskilyrði er ekki lengur óþekkt stærð heldur föst við fyrirfram gefið gildi \(\bar{u}_i\). Hægt væri að meðhöndla þessar frelsisgráður sem fasta og fella þær út úr línulegu jöfnunni \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\); FrontISTR framfylgir hins vegar skilyrðunum með því að breyta \(d\boldsymbol{u}\) og \(\boldsymbol{K}\) en halda bundnu frelsisgráðunum í leiðréttingarvigrinum \(\boldsymbol{R}\) á sama hátt og öðrum frelsisgráðum.

Með þessari aðferð breytast vídd stuðlafylkisins og röðun frelsisgráðanna ekki eftir því hvort skilyrði eru til staðar. Því þarf ekki að fella út breytur og endurraða þeim línum og dálkum sem losna. Þar sem slík endurröðun er fyrirferðarmikil í útfærslu þar sem stuðlafylkið er geymt sem gisfylki notar FrontISTR síðari aðferðina, þar sem skilyrðum er framfylgt eingöngu með uppfærslu stuðlafylkis og hægri hliðar.

Markgildi leiðréttinga Newton-Raphson¶

Fyrir færslubundna frelsisgráðu \(i\) látum við leiðréttinguna \(du_i\) sem fæst í Newton-Raphson-ítruninni vera

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1. ítrun}) \\ 0 & (\text{frá og með 2. ítrun}) \end{cases} \]

Breytið \(\boldsymbol{K}\) og \(\boldsymbol{R}\) þannig að leiðréttingin taki þetta gildi. Þá nær færsluaukningin fyrirfram gefnu gildi \(\bar{u}_i\) í fyrstu ítrun; frá og með annarri ítrun verður leiðréttingin \(0\) og fyrirfram gefna gildinu er haldið.

Ferli til að breyta fylki og leifarvigri¶

Markgildinu í fyrri kafla er náð með eftirfarandi tveimur breytingum, án þess að breyta formi línulegu jöfnunnar \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\).

Gerð línu \(i\) að hornalínu: Setjið hornaliðinn \(du_i\), stuðul \(K_{ii}\), jafnan \(1\), setjið alla aðra stuðla \(K_{ij}\ (j \not= i)\) jafna \(0\) og setjið hægri hliðina sem \(R_i \to d\bar{u}_i\). Jafnan í línu \(i\) verður þá \(du_i = d\bar{u}_i\).
Flutningur úr línum \(j(\not= i)\): Fyrir hverja línu \(j(\not= i)\) þar sem \(K_{ji} \not= 0\) skal flytja liðinn \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) yfir á hægri hlið. Það er, draga \(K_{ji} d\bar{u}_i\) frá hægri hliðinni og setja stuðulinn \(du_i\) við \(K_{ji}\) jafnan \(0\).

Á þáttformi samsvara jöfnurnar fyrir og eftir breytinguna hvor annarri sem hér segir.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]

\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Látum breytta stuðlafylkið og hægri hliðina táknuð með \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\). Línulega jafnan sem að lokum skal leysa er

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Ef fleiri en ein bundin frelsisgráða er til staðar eru breytingar 1 og 2 hér að ofan framkvæmdar í röð fyrir hverja bundna frelsisgráðu \(i\).

Umfang vinnslu í gisfylkjaútfærslu¶

Í útfærslunni er stuðlafylkið \(\boldsymbol{K}\) geymt sem gisfylki. Þess vegna fer vinnsla lína \(j(\not= i)\) í ferli 2 í fyrri kafla aðeins fram fyrir línur sem hafa ekki-núll stök í dálki \(i\), það er fyrir frelsisgráður hnúta sem tengjast bundinni frelsisgráðu \(i\) í gegnum stök. Fyrir ótengdar frelsisgráður er \(K_{ji} = 0\), þannig að flutningur liðarins breytir ekki hægri hliðinni. Þessi takmörkun gerir kleift að ljúka meðhöndlun skilyrðanna með eingöngu staðbundnum aðgerðum miðað við heildarfjölda hnúta.

Tengt efni¶

Sýndarvinna ytri krafta og samsetning heildarjöfnunnar — Myndun \(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{R}\) fyrir breytingu
Newton-Raphson-aðferð — Tengsl við ítrunina til að fá leiðréttinguna \(d\boldsymbol{u}\)
Samleitniskilyrði — Mat á normi leifarinnar \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) eftir meðhöndlun skilyrða