Í þessum kafla er sett fram tímadreifing og ítrunarlausnaraðferð fyrir varmaleiðnigreiningu fastra efna með endanlega staka aðferðinni (Finite Element Method). Um stýrijöfnur og jaðarskilyrði samfellds miðils, sjá Varmaleiðnijafna.
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
þar sem
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
Hér eru \(K\), \(M\), \(F\) og \(N\) varmaleiðnifylkið (þar með talin framlög frá iðustreymi og geislun á jaðri), massafylkið, varmaálagsvigurinn og formfallafylkið. Skilgreiningar á táknum efnisstærða (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), o.s.frv.) fylgja Varmaleiðnijöfnu.
Jafna \(\eqref{eq:2.4.8}\) er ólínuleg óstöðug jafna. Með afturvirkri Euler-aðferð við tímadreifingu er hitastig við \(t=t_0+\Delta t\) reiknað með eftirfarandi jöfnu þegar hitastig við \(t=t_0\) er þekkt.
Hugsum okkur að bæta hitastigsvigurinn \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), sem uppfyllir jöfnu \(\eqref{eq:2.4.13}\) með nálgun, til að fá nákvæmari lausnina \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).
Í því skyni er hitastigsvigurinn fyrst settur fram á eftirfarandi hátt.
Með því að setja jöfnu \(\eqref{eq:2.4.14}\), jöfnu \(\eqref{eq:2.4.15}\) og jöfnu \(\eqref{eq:2.4.16}\) inn í jöfnu \(\eqref{eq:2.4.13}\) og sleppa liðum af annarri og hærri gráðu fæst eftirfarandi jafna.
Í óstöðugri greiningu er almennt engin takmörkun á stærð tímaskrefsins \(\Delta t\) vegna þess að óbein aðferð er notuð við tímadreifingu. Ef tímaskrefið \(\Delta t\) er hins vegar of stórt eykst fjöldi ítrana sem þarf til samleitni. Almennt eykur of stórt tímaskref \(\Delta t\) fjölda ítrana. Í útfærslunni fylgist sjálfvirk skrefastýring með stærð leifarvigursins, minnkar \(\Delta t\) þegar samleitni er hæg og eykur \(\Delta t\) þegar fjöldi ítrana er lítill (→ sjá Skrefastýring fyrir nánari upplýsingar).