Tíðnisvörunargreining¶

Framsetning verkefnis¶

Tíðnisvörunargreining metur stöðugt svörunarsveifluvídd og fasa kerfis í tíðnisviði þegar ytri kraftur breytist sveiflubundið með tíma. Þar sem hreyfijafnan er meðhöndluð á ólíkan hátt með og án deyfingar eru eiginhættir fyrst leiddir út frá ódeyfðri frjálsri sveiflu og síðan notaðir sem háttagrunnur til að þenja út deyfða sveifluháða svörun.

Ódeyfð frjáls sveifla og eiginhættir¶

Þegar deyfing er vanrækt er hreyfijafnan

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Með því að þenja færsluna út í hverjum eiginhætti fæst

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Þetta samband fæst. Sé því stungið inn í jöfnu \(\eqref{eq:2.6.1}\) fæst

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Þetta er almennt eigingildisverkefni. Tölulegar lausnaraðferðir þess, þar á meðal hliðruð andhverf ítrun og Lanczos-aðferðin, eru teknar fyrir í Sveifluháttagreiningu. Hér eru dregnir saman eiginleikar náttúrlegra tíðna og eiginhátta sem notaðir eru í síðari útþenslu sveifluháðu svörunarinnar.

Raungildi náttúrlegra tíðna¶

Sýna má að náttúrlega tíðnin sé rauntala á eftirfarandi hátt. Látum \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Með því að taka tvinntölusamoka jöfnu \(\eqref{eq:2.6.3}\) fæst jafna \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Með margföldun með \(\overline{U}_J^T\) fæst

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Af jöfnu \(\eqref{eq:2.6.5}\) fæst

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Þetta samband fæst. Þar sem massafylkið er samhverft og jákvætt ákvarðað gildir fyrir eiginvigur sem er ekki núll

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Því er

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Þannig er \(\omega_j^2 = \lambda_j\) rauntala.

Hornréttleiki og stöðlun eiginhátta¶

Lítum á tvo ólíka hætti.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Þá leiðir að

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

Þetta samband fæst, og þegar eigingildin eru ólík

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Þá fæst sambandið hér að ofan. Með öðrum orðum eru ólíkir eiginhættir hornréttir með tilliti til massafylkisins. Fyrir sama hátt einfaldar stöðlun með tilliti til massafylkisins samkvæmt jöfnu \(\eqref{eq:2.6.12}\) síðari meðferð.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Sveifluháð svörun með deyfingu¶

Næst er sett fram formúlugerð tíðnisvörunargreiningar með deyfingu. Stýrihreyfijafnan er gefin með jöfnu \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Gert er ráð fyrir Rayleigh-deyfingu og hún er sett fram með jöfnu \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Með eiginvigrunum sem fást úr sveifluháttagreiningu má þenja færsluvigurinn við tímann t út samkvæmt jöfnu \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Gerum ráð fyrir að ytri krafturinn hafi sveifluháða formið

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Þá ákvarðum við \(b_{j}(t)\). Þar sem hreyfijafnan í jöfnu \(\eqref{eq:2.6.13}\) hefur form þvingaðrar sveiflu gildir

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

Þetta samband gildir. Raun- og þverhlutar útþenslustuðulsins \(b_{j}(t)\) eru gefnir með jöfnum \(\eqref{eq:2.6.18}i\) og \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Þar með fást æskilegir stuðlar sveifluháðu svörunarinnar.

Tengd efni¶

Sveifluháttagreining — Formúlugerð undirliggjandi eigingildisverkefnis
Aðferðir hreyfigreiningar — Hreyfigreining í tímasviði
Greiningargerðir — Virkniyfirlit tíðnisvörunargreiningar