Eiginsveiflgreining¶

Almennt eigingildisvandamál¶

Fyrir greiningu frjálsra sveiflna samfellds efnis er svæðið discretized í rúmi og mótað sem kerfi með mörgum frelsisgráðum og samþjöppuðum massa, eins og sýnt er á mynd 2.3.1. Fyrir ódeyfðar frjálsar sveiflur er stýrandi jafnan (hreyfijafnan) eftirfarandi.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Hér er $u$ almenni færsluvigurinn, $M$ massafylkið og $K$ stífleikafylkið. Látum náttúrulegu horntíðnina vera $\omega$, látum $a$, $b$ og $c$ vera handahófskennda fasta og látum $x$ vera vigur. Skilgreinum fallið

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Önnur afleiða þessa segðar er

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Með því að setja þessar segðir inn í jöfnu $\eqref{eq:2.3.1}$ fæst

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

þ.e.

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

fæst.

Ef jafna $\eqref{eq:2.3.5}$ er því uppfyllt með stuðlinum $\lambda = \omega^2$ og finna má vigurinn $x$, þá er fallið $u(t)$ lausn á jöfnu $\eqref{eq:2.3.1}$.

Stuðullinn $\lambda$ kallast eigingildi og vigurinn $x$ eiginvigur. Vandamálið að ákvarða þau úr jöfnu $\eqref{eq:2.3.1}$ kallast almennt eigingildisvandamál.

Dæmi um kerfi með mörgum frelsisgráðum í ódeyfðum frjálsum sveiflum

Mynd 2.3.1 Dæmi um kerfi með mörgum frelsisgráðum í ódeyfðum frjálsum sveiflum

Eiginleikar fylkja og forsendur¶

Fyrir almenna eigingildisvandamálið $K x = \lambda M x$ sem fékkst í fyrri kafla gerir þetta handrit ráð fyrir eftirfarandi eiginleikum fylkja. Þessar forsendur liggja til grundvallar samleitni og gildissviði hliðraðrar andhverfrar ítrunar og Lanczos-aðferðarinnar sem lýst er hér að neðan. Fyrir tvinntölufylki er þverfylkið tengitvinntölufylkið, en rauntölufylki er samhverft. Nánar tiltekið, fyrir fylkið $K$, ef $ij$-stakið er $k_{ij}$, og tengitvinntala $k$ er táknuð með $\bar{k}$, þá gildir

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

eftirfarandi samband.

Í þessu handriti er gert ráð fyrir að fylkin séu samhverf og jákvætt ákveðin. Jákvætt ákveðið merkir að öll eigingildi séu jákvæð; jafngilt er að fylkið uppfylli alltaf jöfnu $\eqref{eq:2.3.7}$ hér að neðan.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Hliðruð andhverf ítrun¶

Í endanlegri stakagreiningu burðarvirkja eru öll eigingildi almennt ekki nauðsynleg í reynd; í mörgum tilvikum nægja aðeins nokkur lægstu eigingildin. HEC-MW er ætlað stórum vandamálum þar sem fylkin eru stór og mjög strjál (innihalda mörg núllstök). Því er mikilvægt að reikna eigingildi lægstu sveifluhátta á skilvirkan hátt með tilliti til þessa eiginleika.

Látum $\sigma$ vera neðri mörk eigingildanna. Þá má umbreyta jöfnu $\eqref{eq:2.3.5}$ í eftirfarandi stærðfræðilega jafngilt form.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Þessi umbreyting hefur eftirfarandi gagnlega eiginleika fyrir útreikning.

Röð sveifluhátta snýst við.
Eigingildi nálægt $\rho$ varpast á stærstu gildin.

Í raunútreikningi fást stærstu eigingildin oft fyrst. Því er aðalsamleitnireikningnum beitt á jöfnu $\eqref{eq:2.3.8}$, frekar en jöfnu $\eqref{eq:2.3.5}$, með það markmið að fá eigingildi nálægt $\rho$ fyrst. Þessi aðferð kallast hliðruð andhverf ítrun.

Lanczos-aðferðin¶

Ástæða fyrir notkun (samanburður við Jacobi-aðferðina)¶

Meðal klassískra aðferða er Jacobi-aðferðin vel þekkt.

Hún er skilvirk þegar fylkið er lítið og þétt. Þar sem fylkin sem HEC-MW meðhöndlar eru stór og strjál er Jacobi-aðferðin hins vegar ekki notuð; í staðinn er ítrekaða Lanczos-aðferðin notuð.

Reiknirit og eiginleikar¶

Aðferðin, sem C. Lanczos lagði til á sjötta áratug 20. aldar, er reiknirit til að færa fylki á þríhornalínulegt form og hefur eftirfarandi eiginleika.

Hún er ítrekuð samleitniaðferð og getur haldið áfram án þess að fylkið hætti að vera strjált.
Reikniritið samanstendur aðallega af fylkja-vigur-margföldunum og hentar vel fyrir samhliðavinnslu.
Hún hentar vel rúmfræðilegri svæðisskiptingu sem tengist endanlegum stakanetum.
Hægt er að reikna á skilvirkan hátt með því að takmarka fjölda eigingilda og svið sveifluhátta sem á að fá.

Lanczos-aðferðin byrjar frá upphafsvigri, myndar í röð hornrétta vigra og byggir grunn fyrir undirrúm. Hún er sögð hraðari en undirrúmsaðferðin, sem er önnur ítrunaraðferð, og er mikið notuð í endanlegum stakaforritum. Aðferðin er þó viðkvæm fyrir tölulegum villum sem geta eyðilagt hornréttleika vigra og valdið því að reikningurinn bregst. Aðgerðir gegn slíkum tölulegum villum eru því nauðsynlegar.

Rúmfræðileg túlkun (Krylov-undirrúm)¶

Með því að innleiða eftirfarandi breytuskipti í jöfnu $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

má endurskrifa vandamálið sem

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

fæst.

Fyrir hæfilegan vigur $q_0$ er línulegu umbreytingunni sem fylkið $A$ lýsir beitt (sjá mynd 2.3.2).

$Línuleg umbreyting með fylkinu $A$ á $q_0$$

Mynd 2.3.2 Línuleg umbreyting með fylkinu $A$ á $q_0$

Umbreytti vigurinn er hornréttaður innan rúmsins sem hann spannar ásamt upprunalega vigrinum. Það er, Gram-Schmidt-hornrétting er framkvæmd eins og sýnt er á mynd 2.3.2. Látum vigurinn sem fæst vera $r_1$. Normið hann í einingarlengd til að fá $q_1$ (mynd 2.3.3). Úr $q_1$ fæst $q_2$ með sama ferli. Á þessu stigi er $q_2$ hornréttur bæði á $q_1$ og $q_0$ (mynd 2.3.4). Með því að halda sama reikningi áfram fást gagnkvæmt hornréttir vigrar allt að stigi fylkisins.

$Vigur hornréttur á $q_0$: $q_1$$

Mynd 2.3.3 Vigur hornréttur á $q_0$: $q_1$

$Vigur hornréttur á $q_1$ og $q_0$: $q_2$$

Mynd 2.3.4 Vigur hornréttur á $q_1$ og $q_0$: $q_2$

Sérstaklega beitir reiknirit Lanczos-aðferðarinnar þessari aðferð á vigurröðina $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

með öðrum orðum $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

og framkvæmir Gram-Schmidt-hornréttingu á henni. Þessi vigurröð er kölluð Krylov-röð og rúmið sem hún spannar Krylov-undirrúm. Með Gram-Schmidt-hornréttingu í þessu rúmi má ákvarða nýjan vigur með því að nota tvo síðustu vigrana. Þetta kallast Lanczos-reglan.

Þríhornalínulegun¶

Í ítruninni hér að ofan má skrifa reikninginn fyrir (i+1)-ta vigurinn sem

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

þar sem

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Með fylkjaritun verður þetta

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

þar sem

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Eigingildin fást því með því að leysa eigingildisvandamál þríhornalínulega fylkisins sem fæst úr jöfnu $\eqref{eq:2.3.13}$.

Tengd efni¶

Tíðnisvörunargreining — Tíðnisvörun með niðurstöðum eiginsveiflgreiningar
Greiningargerðir — Aðgerðayfirlit eiginsveiflgreiningar