Aðferðir hreyfigreiningar¶

Í þessum kafla er lýst greiningaraðferðum fyrir hreyfiverkefni með beinni tímadreifingu. Formúlugerð óbeinnar og beinnar aðferðar er sett fram hér að neðan.

Dreifing hreyfijöfnunnar (sameiginlegur rammi)¶

TBD (verður lokið í næsta áfanga).

Óbein aðferð (Newmark-β-aðferð)¶

Fyrir hreyfiverkefni er beinni tímadreifingu beitt til að leysa hreyfijöfnuna sem sýnd er hér að neðan.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Hér er \(M\) massafylkið, \(C\) deyfingarfylkið, \(Q\) innri kraftavigurinn og \(F\) ytri kraftavigurinn. Gert er ráð fyrir að massafylkið haldist óbreytt óháð aflögun, jafnvel í ólínulegri greiningu.

Breytingar á færslu, hraða og hröðun yfir tímaskrefið \(\Delta t\) eru nálgaðar með Newmark-\(\beta\)-aðferðinni eins og sýnt er í jöfnu \(\eqref{eq:2.5.2}\) og jöfnu \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Hér eru \(\gamma\) og \(\beta\) færibreytur Newmark-\(\beta\)-aðferðarinnar.

Eins og vel er þekkt samsvara eftirfarandi gildi \(\gamma\) og \(\beta\) annars vegar línulegu hröðunaraðferðinni og hins vegar trapisu-reglunni.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (línuleg hröðunaraðferð)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapisu-regla)

Með því að setja jöfnu \(\eqref{eq:2.5.2}\) og jöfnu \(\eqref{eq:2.5.3}\) inn í jöfnu \(\eqref{eq:2.5.1}\) fæst eftirfarandi jafna.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Sérstaklega fyrir línulegt verkefni er \(K_L\) línulega stífleikafylkið og \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Með því að setja þetta samband inn í jöfnuna hér að ofan fæst eftirfarandi jafna.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Á stöðum þar sem hröðun er fyrirskipuð sem rúmfræðilegt jaðarskilyrði fæst færslan úr jöfnu \(\eqref{eq:2.5.2}\) á eftirfarandi hátt.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Á sama hátt fæst færslan úr jöfnu \(\eqref{eq:2.5.6}\) á eftirfarandi hátt á stöðum þar sem hraði er fyrirskipaður.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Hér er \(u_{is}(t+\Delta{t})\) hnútarfærslan við tímann \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) hnútarhraðinn við tímann \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) hnútahröðunin við tímann \(t+\Delta{t}\), \(i\) númer frelsisgráðunnar í hnútnum og \(s\) númer hnútsins. Massaliðurinn og deyfingarliðurinn eru meðhöndlaðir á eftirfarandi hátt.

Meðhöndlun massaliðar¶

Í grundvallaratriðum er massafylkið meðhöndlað sem hnútsett massafylki.

Meðhöndlun deyfingarliðar¶

Deyfingarliðurinn er meðhöndlaður sem Rayleigh-deyfing samkvæmt jöfnu \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Hér eru \(R_m\) og \(R_k\) færibreytur Rayleigh-deyfingar.

Gildunum \(R_m\) og \(R_k\) sem tilgreind eru á !DYNAMIC-spjaldinu er beitt einsleitt á allt líkanið. Til að úthluta ólíkum gildum \(R_m\) og \(R_k\) fyrir hvert efni skal innan !MATERIAL-blokkar viðkomandi efnis tilgreina !DAMPING-spjaldið. Fyrir stök sem tilheyra efni þar sem !DAMPING er tilgreint er deyfingarfylki staksins reiknað sem \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) út frá massafylki staksins \(M_i\) og snertistífleikafylki \(K_i\), og sett saman í heildardeyfingarfylkið. Þessi eiginleiki gildir aðeins fyrir óbeinu aðferðina.

Bein aðferð (miðlæga mismunaaðferðin)¶

Beina aðferðin byggist á hreyfijöfnunni við tímann t sem sýnd er hér að neðan.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Með því að setja færslur við tímana \(t + \Delta t\) og \(t - \Delta t\) fram með Taylor-útþenslum um tímann \(t\) og halda liðum að og með annarri gráðu í \(\Delta t\) fást eftirfarandi jöfnur.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]

\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Með því að taka mismun og summu jafna \(\eqref{eq:2.5.3}\) og \(\eqref{eq:2.5.4}\) fást eftirfarandi jöfnur.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Með því að setja jöfnu \(\eqref{eq:2.5.12}\) og jöfnu \(\eqref{eq:2.5.13}\) inn í jöfnu \(\eqref{eq:2.5.9}\) fæst eftirfarandi jafna.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Sérstaklega fyrir línulegt verkefni er \(Q(t) = K_L U(t)\), og jöfnan hér að ofan verður

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Ef massafylkið \(M\) er tekið sem hnútsett massafylki og deyfingarfylkið sem hlutfallslegt deyfingarfylki \(C = R_m M\), krefst jafna \(\eqref{eq:2.5.15}\) ekki lausnar samtímis jafna.

Því má út frá jöfnu \(\eqref{eq:2.5.15}\) fá \(U(t+\Delta t)\) með eftirfarandi jöfnu.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Tengd efni¶

Greiningargerðir — Yfirlit og val hreyfigreiningaraðgerða
Heimildir