Hoppa yfir í efnið

Newton-Raphson-aðferðin

Línulegun og ítrekunarvensl

Sýndarvinna ytri krafta og samsetning heildarjöfnunnar gefur ólínulega jöfnu fyrir hnútafærsluna á tíma \(t_{n+1}\), \(\boldsymbol{u}_{n+1}\), sem er leyst með Newton-Raphson-aðferðinni. Gert er ráð fyrir að hnútafærslan fram að tíma \(t_n\), \(\boldsymbol{u}_n\), sé þekkt og færsluaukningin \(\Delta\boldsymbol{u}\) er tekin sem óþekkta stærðin sem ákvarða skal

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

Hér eftir er háð ytri kraftavigursins af hnútafærslu vanrækt og, með \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\), er

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

leyst.

Við núverandi lausn \(\Delta\boldsymbol{u}\) er snertistífleikinn skilgreindur sem

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

Með honum gefur línulegun ólínulegu jöfnunnar

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

Látum leiðréttinguna í \(i\)-tu ítrun vera \(d\boldsymbol{u}_i\) og leifarvigurinn í upphafi ítrunarinnar vera

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

Þá eru ítrekunarvenslin

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

Þannig er leifin \(\boldsymbol{R}_i\) stærð sem svarar til ójafnvægis krafta frá jafnvægi.

Myndun snertistífleikafylkisins

Snertistífleikinn \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) er myndaður með því að hlutafleiða innri kraftavigur staksins, sem fékkst í Strjálun sýndarvinnu innri krafta, með tilliti til hnútafærslu, heilda viðkomandi heildunarstærðir á staksstigi yfir hvert stakasvæði og setja þær saman. Ef heildunarstærðin á staksstigi er táknuð með \(\boldsymbol{K}^e_X\) (viðmiðunarstaða, TL-form) eða \(\boldsymbol{K}^e_x\) (núverandi staða, UL-form), er snertistífleiki staksins

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

Hér á eftir eru gefin lokaform TL/UL-heildunarstærðanna. Í báðum tilvikum skiptast þau í summu efnisstífleikaliðar (upphafsfærsluliðar) og rúmfræðilegs stífleikaliðar (upphafsspennuliðar).

Total Lagrange-form

Í Total Lagrange-forminu er gert ráð fyrir línulegu sambandi milli breytingarhraða annars Piola-Kirchhoff-spennunnar \(\dot{\boldsymbol{S}}\) og Green-Lagrange-formbreytingarhraðans \(\dot{\boldsymbol{E}}\), þ.e. \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\). Þetta samsvarar efnissamböndum fyrir línulega teygjanleg efni (St. Venant-Kirchhoff-efni) og ofurteygjanleg efni, og FrontISTR notar Total Lagrange-formið fyrir þessi efni. Heildunarstærð snertistífleika staksins er þá skrifuð í tensorformi sem

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

Fyrri liðurinn hægra megin er efnisstífleikaliðurinn (upphafsfærsluliður) og sá síðari er rúmfræðilegi stífleikaliðurinn (upphafsspennuliður).

Í útfærslu FrontISTR er þessi heildunarstærð metin í fylkjaformi með Voigt-framsetningu:

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

Fylkin eru eftirfarandi. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) eru B-fylkin sem kynnt eru í Strjálun sýndarvinnu innri krafta, og \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) er Voigt-framsetning efnistensorsins \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\), þ.e. \(6\times 6\) efnisstífleikafylki (Tensoratáknun og stærðfræðilegur grunnur). \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) eru eftirfarandi umröðunarfylki sem notuð eru til að setja rúmfræðilega stífleikliðinn fram sem fylkjamargfeldi. Fyrst, fyrir \(3\times 3\) annars stigs tensor \(\boldsymbol{A}\), skilgreinum við táknunina \([\,\cdot\,]\) sem raðar honum í 9-staka vigur sem

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

Með þessari skilgreiningu lýsir \(\boldsymbol{F}_9\) breytingu aflögunarstigulsins á forminu \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) og er \(9\times d n_e\) fylki. Fyrir stakahnút \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) er samsvarandi \(9\times d\) blokk

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ er } 3\times 3 \text{ einingarfylkið}) \]

og er gefið með \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\), þar sem blokkunum er raðað lárétt í röð stakahnútanna. \(\boldsymbol{S}_9\) er valið þannig að rúmfræðilegi stífleikiliðurinn verði \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) þegar það er notað með þessu fylki; það er eftirfarandi \(9\times 9\) fylki

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

Þetta er fylkið sem fæst.

Updated Lagrange-form

Í Updated Lagrange-forminu er gert ráð fyrir línulegu sambandi milli Jaumann-hraða hlutfallslegs Kirchhoff-spennutensors \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) og aflögunarhraðatensors \(\boldsymbol{D}\), þ.e. \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\). Þetta er form hypoelastic efnissambands sem er algengt fyrir línulega teygjanleg, teygjuplastísk og skriðefni, og FrontISTR notar Updated Lagrange-formið fyrir þessi efni. Heildunarstærð snertistífleika staksins, sett fram í núverandi stöðu, er þá skrifuð í tensorformi sem

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

þar sem \(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) er Truesdell-hraðinn, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) er línulegi hluti Almansi-formbreytingarinnar, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) er færslustigullinn með tilliti til núverandi stöðu og \(\boldsymbol{L}\) er hraðastigulstensorinn. Fyrri liðurinn hægra megin er efnisstífleikaliðurinn og sá síðari er rúmfræðilegi stífleikaliðurinn.

Í útfærslu FrontISTR er þessi heildunarstærð metin í fylkjaformi með Voigt-framsetningu:

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

Hér er \(\boldsymbol{b}\) B-fylkið sem er myndað í núverandi stöðu (Strjálun sýndarvinnu innri krafta). \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) fást úr \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\), sem skilgreind eru fyrir TL-formið, með því að skipta annars PK-spennunni \(\boldsymbol{S}\) út fyrir Cauchy-spennuna \(\boldsymbol{\sigma}\) og viðmiðunarstiglinum \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) út fyrir stigul núverandi stöðu \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\).

\(\boldsymbol{G}\) er Cauchy-spennuháð leiðréttingarfylki sem þarf til að gera hypoelastic efnissambandið \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) samræmt snertistífleikarammanum sem efnissambandi byggðu á Truesdell-hraða. Það fæst með því að raða fjórða stigs tensorhlutunum \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) í \(6\times 6\) Voigt-form sem

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

Þetta er fylkið sem fæst.

Samsetning heildarstífleikafylkisins

Heildarsnertistífleikinn \(\boldsymbol{K}\) fæst með því að skipta hverjum stakastífleika \(\boldsymbol{K}^e\) í \(d\times d\) blokkir \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) fyrir hvert hnútapar og nota annars stigs tensor-samsetningarmengið \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) sem kynnt er í Samsetning eðlisstærða stakshnúta:

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

Gildunum sem fást er raðað sem fylki með röð \(i_g\) og dálk \(i_h\). Í útfærslunni er mengið \(\mathcal{E}^2\) ekki myndað sérstaklega; í staðinn er samsvarandi blokkum bætt beint við innan stakalykkjunnar. Fylkið er ferningsfylki með vídd jafna fjölda frelsisgráða á hnút \(\times\) heildarfjölda hnúta \(n_g\), en þar sem aðrir þættir en þeir sem eru milli hnúta tengdra með stökum eru \(0\) er það geymt á strjálu fylkjaformi.

Stífleikafylki staka fyrir TL- og UL-formin hafa sama form nema hvað skipt er um viðmiðunarstöðu (hnútahnit og uppsprettu sem notuð er til að mynda B-fylkið) og hvort \(\boldsymbol{G}\)-fylkið er til staðar. FrontISTR útfærir því bæði formin í sameiginlegri undirrútínu.

Ítrunarreiknirit

Í upphafi ítrunar er \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) sett og upphafsleifin \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) reiknuð. Í \(i\)-tu ítrun er síðan eftirfarandi ferli framkvæmt.

  1. Við núverandi færslu \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) er snertistífleikinn \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) reiknaður með ferlinu í Myndun snertistífleikafylkisins.
  2. Til að leggja á rúmfræðileg jaðarskilyrði er snertistífleikafylkinu og leifarvigrinum breytt fyrir þær frelsisgráður sem færsluhömlur gilda um, og þannig fást \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) (Meðhöndlun rúmfræðilegra jaðarskilyrða).
  3. Línulega jafnan \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) er leyst til að fá leiðréttinguna \(d\boldsymbol{u}_i\). Þetta ferli tekur oft stærstan hluta reiknikostnaðar ítrunarreikningsins.
  4. Færsluaukningin er uppfærð sem \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\), og í samræmi við það eru innri kraftavigurinn \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) og leifin \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) reiknuð.
  5. Samleitni er athuguð og ítrun stöðvuð ef hún hefur náðst. Þættir sem svara til hamlaðra viðbragðskrafta koma fram í leifinni \(\boldsymbol{R}_i\) á frelsisgráðum sem lúta rúmfræðilegum jaðarskilyrðum, þannig að samleitnivísirinn er myndaður úr \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) eftir að þessir þættir hafa verið útilokaðir. Sérstök samleitniviðmið og þröskuldar eru lýst í Samleitniviðmið. Ef samleitni næst ekki og ítrunarmörkum er náð er ítrunin talin hafa mistekist.

Þegar ítrunin hefur samleitið er hin samleita \(\Delta\boldsymbol{u}\) lögð við \(\boldsymbol{u}_n\) til að fá uppsafnaða færslu á tíma \(t_{n+1}\), \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\), og farið er í næsta tímaskref.

Tengd efni

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status