Hoppa yfir í efnið

Listi yfir tákn eðlisstærða

Á þessari síðu eru talin upp tákn fyrir eðlisstærðir sem notaðar eru í fræðihandbók FrontISTR. Um ritunarreglur (feitletrun vigra og tensora, summureglu Einsteins og Voigt-ritun), sjá Tensorritun og stærðfræðilegur grunnur.


Stöður og hnitakerfi

Tákn Lýsing
\(\boldsymbol{X}\) Stöðuvigur efnispunkts í viðmiðunarstöðu (upphafsstöðu) (efnishnit)
\(\boldsymbol{x}\) Stöðuvigur efnispunkts í núverandi stöðu (rúmhnit)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Hreyfivörpun: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Svæði sem hluturinn tekur í viðmiðunarstöðu
\(\Omega\) Svæði sem hluturinn tekur í núverandi stöðu
\(\Gamma_0\) Jaðar \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Jaðar \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Rúmfræðilegur (færslu-)jaðar: jaðar í núverandi/viðmiðunarstöðu þar sem \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) er fyrirskipað
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Aflfræðilegur jaðar: jaðar í núverandi/viðmiðunarstöðu þar sem \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (eða \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) er fyrirskipað
\(\boldsymbol{n}\) Útvísandi einingarþvervigur að yfirborði í núverandi stöðu
\(\boldsymbol{N}\) Útvísandi einingarþvervigur að yfirborði í viðmiðunarstöðu
\(t\) Tími

Regla: Eðlisstærðir í viðmiðunarstöðu eru táknaðar með hástöfum eða undirvísi \(0\), en stærðir í núverandi stöðu með lágstöfum.


Tími og skref (skrefagreining)

Tákn Lýsing
\(\Delta t\) Tímaskref: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Eðlisstærð við tímann \(t\) (vinstri yfirvísir). Dæmi: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) er Cauchy-spennan við tímann \(t\)
\(^{t}\Omega\) Svæði núverandi stöðu við tímann \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Jaðar núverandi stöðu við tímann \(t\)

Regla: Í skrefagreiningu er ástandið fram að tíma \(t\) meðhöndlað sem þekkt og ástandið við \(t + \Delta t\) leyst sem óþekkt. Vinstri yfirvísinum er sleppt þegar ekki þarf að taka tímann sérstaklega fram. Formúlugerð sem notar viðmiðunarstöðuna \(\Omega_0\) sem viðmiðun kallast Total Lagrange-formúlugerð, en formúlugerð sem notar núverandi stöðu \(^{t}\Omega\) í upphafi skrefs sem viðmiðun kallast Updated Lagrange-formúlugerð.


Færsla, hraði, hröðun og rúmkraftur

Tákn Lýsing
\(\boldsymbol{u}\) Færsluvigur: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Færsla fyrirskipuð á rúmfræðilega jaðrinum \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Sýndarfærsla (próffall): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) á \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Hraðavigur: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Hröðunarvigur: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Rúmkraftur (á massaeiningu)
\(\boldsymbol{t}\) Togvigur (á flatarmálseiningu): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Tog fyrirskipað á aflfræðilega jaðrinum \(\Gamma_t\) (Neumann-gögn)

Mismunavirkjar

Tákn Lýsing
\(\dot{(\cdot)}\) Efnisleg tímaafleiða (tímaafleiða fylgjandi sama efnispunkti): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Stigull í viðmiðunarstöðu (stigull með tilliti til efnishnita \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Stigull í núverandi stöðu (stigull með tilliti til rúmhnita \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Samhverfur stigulvirki: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Athugasemd: \(\nabla_X\) og \(\nabla_x\) tengjast með \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Stigull án undirvísis, \(\nabla\), er notaður þegar staðan er skýr af samhengi eða þegar greinarmunurinn hverfur, eins og í smáaflögunarverkefnum.


Aflögunartensorar

Tákn Lýsing
\(\boldsymbol{F}\) Aflögunarstigull: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Rúmmálshlutfall: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Hægri Cauchy-Green-aflögunartensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Vinstri Cauchy-Green-aflögunartensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Hraðastigultensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Aflögunarhraðatensor (samhverfi hluti \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Snúningstensor (skew-samhverfi hluti \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Bjögunartensorar

Tákn Lýsing
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrange-bjögunartensor (viðmiðunarstaða): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansi-bjögunartensor (núverandi staða): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Línulegur hluti Almansi-bjögunartensors (samhverfur færslustigull í núverandi stöðu): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Smábjögunartensor (línuleg nálgun): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Athugasemd: \(\boldsymbol{E}\) er fyrst og fremst notaður í Total Lagrange-formúlugerð, en \(\boldsymbol{D}\) fyrst og fremst í Updated Lagrange-formúlugerð.


Spennutensorar

Tákn Lýsing
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-spennutensor (sönn spenna, núverandi staða): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Fyrsti Piola-Kirchhoff-spennutensor (nafnspenna): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Annar Piola-Kirchhoff-spennutensor (viðmiðunarstaða, samhverfur): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Umbreytingarsambönd milli spennutensoranna:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Regla: Total Lagrange-formúlugerðin notar parið \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), en Updated Lagrange-formúlugerðin notar parið \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).


Eðlismassi og massi

Tákn Lýsing
\(\rho\) Massaeðlismassi í núverandi stöðu
\(\rho_0\) Massaeðlismassi í viðmiðunarstöðu

Varðveisla massa: \(\rho_0 = J\rho\).


Efnisfastar (línuleg teygni)

Tákn Lýsing
\(E\) Young-stuðull
\(\nu\) Poisson-hlutfall
\(\lambda\) Fyrsti Lamé-fasti: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Annar Lamé-fasti (skerstuðull): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Teygjutensor (fjórða stigs): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), þættir \(C_{ijkl}\)
\(D\) (eða \(\hat{\tilde{C}}\)) Efnisfylki (Voigt-ritun, \(6\times6\) í þrívídd): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Þættir teygjutensors fyrir samsætt línulega teygjanlegt efni:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Ofurteygin efni

Tákn Lýsing
\(W(\boldsymbol{C})\) Teygjumættisfall (þéttleikafall bjögunarorku)
\(I_1, I_2, I_3\) Höfuðóbreytur hægri Cauchy-Green-tensorsins \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Minnkaðar óbreytur \(\boldsymbol{C}\) (rúmmálsbreyting aðskilin)
\(C_1, C_2\) Efnisfastar Mooney-Rivlin-líkansins
\(D\) Efnisfasti tengdur rúmmálsteygni

Teygjuplastísk efni

Tákn Lýsing
\(\boldsymbol{D}^e\) Teygjuþáttur aflögunarhraðatensors
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastþáttur aflögunarhraðatensors
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Flotfall
\(\kappa\) Innri breyta sem táknar plastástandið (samsæt herðingarbreyta)
\(\lambda^p\) Plastmargfaldari (margfaldari plastbjögunarhraða): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastmættisfall (\(\Theta = F\) fyrir tengda flæðireglu)
\(\bar{\sigma}\) Jafngild spenna (t.d. von Mises-spenna)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Jafngild plastbjögun
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Samsætt herðingarfall

Viðbótarskilyrði: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).


Endanlega staka aðferðin

Tákn Lýsing
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Svæði í núverandi og viðmiðunarstöðu nálguð með endanlegra staka dreifingu: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Svæði staks í núverandi og viðmiðunarstöðu
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Sá hluti jaðars staks sem tilheyrir aflfræðilega jaðrinum
\(\boldsymbol{r}\) Náttúruleg hnit (staðbundin hnit staks)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Punktur í náttúrulegum hnitum sem samsvarar hnút \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Formfall sem samsvarar hnút \(\alpha\) í staki \(e\)
\(n_e\) Fjöldi hnúta sem mynda stak
\(n_g\) Heildarfjöldi hnútanna
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Hnit og færsla hnúts \(\alpha\) í staki
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Hnútahnita- og færsluvigrar staks: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), o.s.frv.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Heildarhnútahnita- og færsluvigrar (raðað eftir hnútanúmeri og síðan frelsisgráðu)
\(\boldsymbol{B}\) Fylki bjögunar-færslusambands (B-fylki)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Formfallafylki: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) er \(d \times d\) blokk með formfallið \(N_\alpha^e\) fyrir hnút \(\alpha\) á hornalínunni, og \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Stífleikafylki staks
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Heildunarliðir stífleikafylkis staks (settir fram í viðmiðunar- og núverandi stöðu): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formúlugerð), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formúlugerð) Innri kraftavigur staks
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Ytri hnútarkraftur á hnút \(\alpha\) í staki og ytri hnútarkraftavigur staks: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Heildarinnri kraftavigur og heildarytri kraftavigur: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); á sama hátt fyrir \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Innri hnútarkraftur og ytri hnútarkraftur í heildarhnúti \(i_g\) (hnútablokkir \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Heildarsnertistífleikafylki: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Fylki myndað með því að setja \(3\times 3\) blokkina \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) í röð \(i_g\), dálk \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Leifarvigur í Newton-Raphson-ítrun: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Leiðrétting í Newton-Raphson-ítrun (fæst með því að leysa línulegu jöfnuna \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) í ítrun \(i\))
\(i_g\) Heildarhnútanúmer (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Heildarhnútanúmer sem samsvarar staðbundnu hnútanúmeri \(\alpha\) í staki \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Mengi para \((e, \alpha)\) sem samsvara heildarhnútanúmeri \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Notað í samsetningaraðgerðum
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Mengi þrennda \((e, \alpha, \beta)\) sem samsvara pari heildarhnútanúmera \((i_g, i_h)\); notað við samsetningu stífleikafylkis
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Vísar fyrir hnúta sem mynda stak
\(i, j, k, l, \ldots\) Vísar fyrir frelsisgráður (\(1, 2, 3\) í þrívídd)

Háþróuð stök og burðarstök

Tákn Lýsing
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Fylki bjögunar-færslusambands með rúmmálshluta breyttum með B-bar-aðferðinni (rúmmálsþáttinum er skipt út fyrir B-fylkið metið í miðju staksins)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Aflögunarstigull með rúmmálshluta breyttum með F-bar-aðferðinni: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Rúmmálshlutfall aflögunarstiguls metið í miðju staksins \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Innri frelsisgráðuvigur fyrir stak með ósamhæfum hætti (stuðlar viðbótarfærsluhátta sem framfylgja ekki samfellu á jaðri staksins)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Formföll fyrir ósamhæfa hætti: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Þykkt skeljarstaks
\(A\) Þverskurðarflatarmál bitastaks
\(I\) Annað flatarmálsvægi þverskurðar bitastaks
\(G\) Skerstuðull: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Tengd efni

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status