Tensorritun og stærðfræðilegur grunnur¶

Í þessum kafla eru teknar saman reglur um tensorritun, vísaritun og Voigt-ritun sem notaðar eru í síðari köflum fræðihandbókar FrontISTR. Hér er aðeins lýst hreinum ritunarreglum sem eru óháðar skilgreiningum eðlisstærða. Ritunarreglur sem ráðast af stöðu samfellds efnis (viðmiðunar-/núverandi staða), svo sem greinarmunur á há- og lágstöfum og á efnis- og rúmafleiðum, eru gefnar í Hreyfing, aflögun og bjögun, þar sem hugtakið staða er kynnt.

Tensorritun¶

Feitletruð ritun vigra og tensora¶

Sem prentfræðileg regla eru skalar og þættir vigra og tensora skrifaðir með venjulegu letri (til dæmis \(\rho\) og \(x_i\)), en vigur- og tensorstærðirnar sjálfar með feitletruðu letri (til dæmis \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) og \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Summureglan kennd við Einstein¶

Nema annað sé tekið fram er summuregla Einsteins notuð: þegar sami vísir kemur tvisvar fyrir í sama lið er summa tekin yfir þann vísi. Til dæmis,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

og \(i,j\)-þáttur margfeldisins \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) af tensorunum \(\boldsymbol{A}\) og \(\boldsymbol{B}\) er

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Þetta gefur sambandið hér að ofan. Sem vísaregla tákna \(i, j, k, l, \ldots\), þegar þeir eru notaðir sem vísar án frekari skýringar, vísa sem tengjast frelsisgráðum (\(1, 2, 3\) í þrívídd), en lágstafir gríska stafrófsins \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) notaðir sem vísar tákna vísa sem tengjast hnútunum sem mynda stak.

Innfeldi, bylting og tensorfeldi¶

Bylting tensorsins \(\boldsymbol{A}\) er táknuð með \(\boldsymbol{A}^T\). Innfeldi (tvöföld samdráttur) annars stigs tensoranna \(\boldsymbol{A}\) og \(\boldsymbol{B}\) er skrifað

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Þannig er þetta táknað. Innfeldi vigranna \(\boldsymbol{a}\) og \(\boldsymbol{b}\) er \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), og tensorfeldi þeirra er \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Voigt-ritun¶

Spenna og bjögun eru samhverfir annars stigs tensorar með tilliti til frelsisgráða og stuðlarnir sem lýsa línulegu sambandi þeirra mynda fjórða stigs tensor. Bein meðhöndlun þeirra í forriti er óhagkvæm með tilliti til reiknikostnaðar og forritunar (fjölvíð fylki og djúpt hreiðraðar lykkjur). Almenn endanlegra staka forrit nýta því samhverfuna og þjappa spennu og bjögun í dálkvigra og fjórða stigs teygjutensor í tvívítt fylki. Þetta kallast Voigt-ritun.

Hér eftir er fylkja- eða vigurframsetning tensorstærðarinnar \(\boldsymbol{A}\) táknuð með \(\hat{A}\) til að aðgreina hana frá upprunalega tensornum.

Vigurframsetning spennu og bjögunar¶

Fyrir samhverfa spennutensorinn \(\boldsymbol{\sigma}\) og bjögunartensorinn \(\boldsymbol{\varepsilon}\), í tvívídd,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

og í þrívídd,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

eru þau meðhöndluð sem dálkvigrar eins og sýnt er hér að ofan. Sama regla gildir um afleiddar stærðir, svo sem breytileika og mismun. Athugið að skersþættir bjögunarmegin hafa stuðulinn 2 (ekki spennumegin). Vegna þessarar ósamhverfu má skrifa innfeldi tensoranna á samþjappaðan hátt sem vigurinnfeldi

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Þannig má skrifa sambandið á samþjappaðan hátt. Í útfærslu er auðvelt að meðhöndla stuðulinn 2 á skersbjögunarþáttunum rangt, svo alltaf verður að hafa reglu „ekki fyrir spennu / fyrir bjögun“ í huga. Nákvæmlega sama Voigt-regla er notuð fyrir stærðir í viðmiðunarstöðu (annar Piola-Kirchhoff-spennutensor \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-bjögun \(\boldsymbol{E}\)).

Fylkjaframsetning fjórða stigs tensors¶

Fyrir línulega sambandið milli spennu og bjögunar, \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (í þáttaritun, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), fæst með því að nýta samhverfu \(\boldsymbol{\varepsilon}\)

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Þannig má endurskrifa sambandið. Í þrívídd má raða \(\tilde{C}\) sem 6×6 efnisfylkinu \(\hat{\tilde{C}}\) og skrifa upprunalega tensorsambandið sem

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Þannig má setja sambandið fram. Hér eftir í þessari handbók er efnisfylkið, nema annað sé tekið fram, táknað með \(D\) (eða \(\hat{C}\)). Um tiltekna þætti fyrir samsæta línulega teygni, sjá Línuleg teygni.

Reglur um mismunavirkja¶

Samhverfur stigulvirki¶

Samhverfi stigulvirkinn \(\nabla_S\) fyrir vigursviðið \(\boldsymbol{u}\) er skilgreindur sem

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Þannig er virkjinn skilgreindur. Í þáttaritun er \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Smáaflögunarbjögunina \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) má setja fram á samþjappaðan hátt með þessum virkja. Greinarmunur á stöðum (viðmiðunar/núverandi) sem stiglar eru teknir með tilliti til í stórri aflögun er tekinn fyrir í Hreyfing, aflögun og bjögun.

Efnisleg tímaafleiða¶

Efnisleg tímaafleiða stærðar \(A\) (tímaafleiða fylgjandi sama efnispunkti) er táknuð með punkti ofan við táknið, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Hraði og hröðun fylgja þessari reglu.

Tengd efni¶

Hreyfing, aflögun og bjögun — Hugtök viðmiðunar-/núverandi stöðu og staðaháðar ritunarreglur (há-/lágstafir, efnis-/rúmafleiður)
Spenna og varðveislulögmál — Afleiðing stýrijafna með þessari ritun
Meginregla sýndarvinnu — Notkun veikrar gerðar og Voigt-ritunar
Línuleg teygni — Tiltekið form efnisfylkisins \(D\)
Formföll og endanlegra staka nálgun — Útreikningur stakastífleika með Voigt-ritun