Varmleiðnijafnan¶

Þessi kafli tekur saman stjórnandi jöfnu varmleiðni sem FrontISTR meðhöndlar á samfelldu sviði og jaðarskilyrði hennar. Tímastrjálgun og FEM-strjálgun eru látin eftir strjálgunarkaflanum (L3d) og kaflanum um lausnarreiknirit (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Stjórnandi jafna¶

Varmleiðnijafnan í samfelldu efni er gefin á eftirfarandi formi.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Hér táknar \(\rho=\rho(x)\) massþéttleika, \(c=c(x,T)\) eðlisvarma, \(T=T(x,t)\) hitastig, \(k=k(x,T)\) varmaleiðni, \(Q=Q(x,T,t)\) varmamyndun, \(x\) staðsetningu og \(t\) tíma. \(k_x, k_y, k_z\) eru varmaleiðnistuðlar í viðkomandi stefnum fyrir misátta varmleiðni.

Fyrir tiltekna varmaeiginleika, þar á meðal hitastigsháð gildi og misáttu, sjá Varmaeiginleikar.

Jaðarskilyrði¶

Látum sviðið sem skoðað er vera \(S\), með jaðar þess táknaðan með \(\Gamma\). Ef gert er ráð fyrir að annaðhvort Dirichlet- eða Neumann-gerðar jaðarskilyrði sé gefið alls staðar á \(\Gamma\), eru jaðarskilyrðin eftirfarandi.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Hér er gert ráð fyrir að fallform \(T_1\) og \(q\) séu þekkt. \(q\) er varmaflæðið út um jaðarinn. Jaðarvarmaflæðið \(q\) samanstendur af eftirfarandi þremur þáttum.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Hér er \(q_s\) dreift varmaflæði, \(q_c\) varmaflæði vegna varmaburðar og \(q_r\) varmaflæði vegna varmageislunar.

Hér er \(Tc=Tc(x,t)\) umhverfishitastig fyrir varmaburð, \(hc=hc(x,t)\) varmaburðarstuðull, \(Tr=Tr(x,t)\) umhverfishitastig fyrir varmageislun, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) geislunarvarmaflutningsstuðull, \(\varepsilon\) geislunarstuðull, \(\sigma\) Stefan-Boltzmann-fastinn og \(F\) sjónarstuðull.

Um hvernig þessi skilyrði eru tilgreind í inntaksskrá, sjá Jaðarskilyrði og álag í virkniyfirlitinu.

Veik framsetning¶

Tenging við burðarþolsgreiningu¶

Tengt efni¶

Tímabundin varmleiðni — Tímastrjálgun og ólínuleg ítrun
Varmaeiginleikar — Framsetning efniseiginleika og hitastigsháðra eiginleika
Lögunarföll og nálgun með endanlegum stökum — Rammi FEM-strjálgunar
Virkniyfirlit: Jaðarskilyrði og álag — Inntak jaðarskilyrða fyrir varmleiðnigreiningu