Rammi aukningargreiningar¶

Þörf fyrir aukningargreiningu¶

Eins og lýst var hér að framan má í greiningu vandamála með litlum aflögunum framkvæma endanlega stakagreiningu með því að nota meginreglu sýndarvinnu, sem jafngildir grunnjöfnum á borð við jafnvægisjöfnur, og discretize þessa jöfnu með endanlegum stökum. Sama grunnregla sýndarvinnu er einnig notuð í greiningu vandamála með endanlegum aflögunum þar sem burðarvirki aflagast mikið.

Í vandamálum með endanlegum aflögunum verður jafna meginreglu sýndarvinnu hins vegar ólínuleg með tilliti til færslu, jafnvel þótt gert sé ráð fyrir línulegu efni. Til að leysa ólínulegar jöfnur eru almennt framkvæmdar ítrekaðar reikningar með ítrunaraðferð.

Í þessum ítrunum er notuð aukningargreining þar sem reikningurinn er framkvæmdur í litlum álagsaukningum og aukningarnar lagðar saman þar til endanlegu aflögunarástandi er náð. Þegar gert er ráð fyrir vandamáli með litlum aflögunum er ekki gerður sérstakur greinarmunur á stöðu fyrir og eftir aflögun við skilgreiningu formbreytingar og spennu. Það er að segja, undir forsendu lítillar aflögunar skiptir ekki máli hvort staðan sem notuð er til að lýsa grunnjöfnunum er staðan fyrir eða eftir aflögun.

Þegar aukningargreining er framkvæmd fyrir vandamál með endanlegum aflögunum er formið mismunandi eftir því hvort upphafsstaðan eða staðan í upphafi aukningar er tekin sem viðmiðunarstaða. Fyrra tilvikið kallast Total Lagrange-aðferð og hið síðara Updated Lagrange-aðferð. Fyrir nánari upplýsingar, sjá heimildir í lok kaflans og tengt efni.

Upphafsjafna: meginregla sýndarvinnu á tíma \(t'\)¶

Lítum á aukningargreiningu þar sem ástandið fram að tíma \(t\) er þekkt og ástandið á tíma \(t' = t + \Delta t\) er óþekkt (sjá mynd 2.2.1). Jafnvægisjöfnur, jaðarskilyrði og meginregla sýndarvinnu á tíma \(t'\) (sett fram í núverandi stöðu með Cauchy-spennunni \(^{t'}\sigma\) og línulega hluta Almansi-formbreytingarinnar \(^{t'} A_{(L)}\)) eru gefin í Meginregla sýndarvinnu.

Mynd 2.2.1 Hugmynd aukningargreiningar

Þar sem þessi upphafsjafna er skrifuð í (óþekktu) stöðunni á tíma \(t'\), velur raunverulegt lausnarferli annaðhvort upphafsstöðuna \(V\) á tíma \(0\) eða núverandi stöðu \(^{t'} v\) á tíma \(t\) sem viðmiðunarstöðu, endurskrifar jöfnuna á aukningarformi og leysir hana síðan:

• Total Lagrange-aðferð — Notar upphafsstöðuna \(V\) sem viðmið. Önnur PK-spennan \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-formbreytingin \(\boldsymbol{E}\) eru notaðar.
• Updated Lagrange-aðferð — Notar núverandi stöðu \(^{t}v\) í upphafi aukningar sem viðmið. Cauchy-spennan \(\boldsymbol{\sigma}\) og línulegi hluti Almansi-formbreytingarinnar \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) eru notuð.

Fyrir rúmdiscretization beggja forma (B-fylki og innri kraftavigur), sjá Strjálun sýndarvinnu innri krafta; fyrir línulegun og myndun snertistífleika, sjá Snertistífleikafylki.

Tengd efni¶

• Meginregla sýndarvinnu — Helsta upphafsjafna (veikt form í núverandi og upphafsstöðu)
• Strjálun sýndarvinnu innri krafta — B-fylki og innri kraftavigrar fyrir TL/UL
• Snertistífleikafylki — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\) sem fást með línulegun
• Newton-Raphson-aðferðin — Ítrunarreiknirit