Hoppa yfir í efnið

Meginregla sýndarvinnu

Út frá jafnvægisjöfnunni og jaðarskilyrðunum sem leidd eru út í Spennur og varðveislulögmál leiðum við út meginreglu sýndarvinnu, sem er veikt form jaðargildisverkefnis samfellds miðils. Stakvæðing með endanlegum stökum hefst út frá þessu veika formi. Í þessum kafla eru bæði núverandi-stöðuformið (sett fram með Cauchy-spennu og línulega hluta Almansi-formbreytingar) og viðmiðunarstöðuformið (sett fram með annarri Piola-Kirchhoff-spennu og Green-Lagrange-formbreytingu) sýnd, jafngildi þeirra staðfest og að lokum sýnt hvernig þau falla saman við kenninguna um litla aflögun.

Jafnvægisjafna og jaðarskilyrði

Látum \(\boldsymbol{g}\) vera rúmkraft á samfellda miðilinn á massaeiningu og skoðum hlut sem tekur yfir svæðið \(\Omega\) í núverandi stöðu. Jaðrinum \(\Gamma\) er skipt í rúmfræðilegan jaðar þar sem færslan er gefin sem \(\bar{\boldsymbol{u}}\), \(\Gamma_B\), og aflfræðilegan jaðar þar sem yfirborðskrafturinn er gefinn sem \(\bar{\boldsymbol{t}}\), \(\Gamma_t\), þannig að \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) og \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Fyrir kyrrstöðuvandamál fæst jafnvægisjafnan með því að sleppa tregðuliðnum úr varðveislulögmáli skriðþunga sem sýnt er í Spennur og varðveislulögmál:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{í} \ \Omega \]

Jaðarskilyrðin eru

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{á} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{á} \ \Gamma_B \]

Hér á eftir er meginregla sýndarvinnu leidd út sem veikt form jafnvægisjöfnunnar og aflfræðilega jaðarskilyrðisins \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Rúmfræðilega jaðarskilyrðið \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) er tekið með með vali prófunarfalls.

Veikt form í núverandi stöðu

Í veika forminu skilgreinum við leyfilega rúmið fyrir óþekktu færsluna og prófunarfallsrúmið sem

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{á} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{á} \ \Gamma_B \} \]

Hér er \(d\) rúmvíddin, \(H^1(\Omega)\) Sobolev-rúm falla sem eru ferningsheildanleg ásamt fyrstu veiku afleiðum sínum og \(\delta\) táknar breytileika. Í framsetningu núverandi stöðu er \(\Omega\) aflagaða staðan; í raunverulegri tölulegri lausn er hún dregin aftur til viðmiðunarstöðu eða þekktrar millistöðu.

Með því að margfalda jafnvægisjöfnuna með væginu \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) og beita frávikssetningu Gauss og aflfræðilega jaðarskilyrðinu fæst eftirfarandi meginregla sýndarvinnu í núverandi stöðu.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Hér er \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) línulegi hluti Almansi-formbreytingarfylkisins, skilgreindur sem

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Breytileiki þess er \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Því leitum við að \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) þannig að sýndarvinnujafnan sé uppfyllt fyrir sérhvert \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Vinstri hliðin er sýndarvinna innri krafta en hægri hliðin er sýndarvinna ytri krafta vegna gefins yfirborðskrafts og rúmkrafts.

Þar sem þessi jafna er skrifuð yfir aflagaða svæðið (núverandi stöðu) velur raunverulegt lausnarferli upphafsstöðuna \(\Omega_0\) (viðmiðunarstöðu) eða þekkta millistöðu aftur sem viðmiðunarstöðu, umritar jöfnuna á aukningarform og leysir hana síðan. Um val á viðmiðunarstöðu (Total Lagrange / Updated Lagrange) og aukningarskiptingu vísast í Ramma fyrir aukningargreiningu.

Veikt form í upphafsstöðu

Skoðum hlut sem tekur yfir svæðið \(\Omega_0\) í viðmiðunarstöðu, með jaðri \(\Gamma_0\) skipt í \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Með því að draga framsetningu núverandi stöðu aftur til viðmiðunarstöðu fæst samtengt spennu-formbreytingarpar annarrar Piola-Kirchhoff-spennu \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-formbreytingar \(\boldsymbol{E}\). Meginregla sýndarvinnu í upphafsstöðu verður þá

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Hér er \(\rho_0\) massaeðlismassinn í viðmiðunarstöðu og samkvæmt massavarðveislutengslinu \(\rho_0 = J\rho\) er þetta jafngilt framsetningu rúmkrafts í núverandi stöðu.

Jafngildi framsetninga núverandi stöðu og upphafsstöðu

Sýndarvinna innri krafta í framsetningunum tveimur fellur saman í gegnum umbreytingu með aflögunarstiglinum \(\boldsymbol{F}\) og rúmmálshlutfallinu \(J = \det \boldsymbol{F}\); það er,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Ytri kraftliðirnir eru einnig jafngildir vegna massavarðveislu og umbreytingar yfirborðskrafts. Því tjá sýndarvinnujafnan í núverandi stöðu og sú í upphafsstöðu sömu meginreglu í mismunandi stöðum. Lausnaraðferð sem vísar í viðmiðunarstöðu samsvarar Total Lagrange-aðferðinni en lausnaraðferð sem vísar í núverandi stöðu (næstfyrri samleitnu stöðu) samsvarar Updated Lagrange-aðferðinni.

Lækkun að lítilli aflögun

Við forsendurnar um litla aflögun \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) og \(J \approx 1\) hverfur munurinn á núverandi stöðu og viðmiðunarstöðu, önnur PK-spennan fellur saman við Cauchy-spennuna (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), og bæði Green-Lagrange-formbreyting og línulegi hluti Almansi-formbreytingar falla saman við óendanlega litlu formbreytinguna \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Meginregla sýndarvinnu lækkar þá að veika forminu sem sett er fram með Cauchy-spennunni \(\boldsymbol{\sigma}\) og óendanlega litlu formbreytingunni \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{á} \ \Gamma_B \]

Þetta er veika formið sem er notað beint við stakvæðingu í línulegri teygjanlegri kyrrstöðugreiningu með litla aflögun (Línuleg teygjanleg kyrrstöðugreining (inngangur og viðauki) byrjar á þessu formi og sýnir smíði stakastífleikans \(\boldsymbol{K}^e\) með samsetningu heildarjöfnunnar \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Með því að setja línulegu teygjanlegu efnislögmálið \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) inn og skrifa \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) í Voigt-rithætti verður veika formið

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

sem hefur þetta form.

Tengd efni

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status