Spenna og varðveislulögmál¶

Í þessum kafla eru skilgreiningar og innbyrðis tengsl spennutensora tekin saman, ásamt jafnvægisjöfnum og samhverfu spennu sem leiðir af varðveislu massa, skriðþunga og hverfiþunga. Spennutensorarnir þrír — Cauchy-spenna \(\boldsymbol{\sigma}\), fyrsti Piola-Kirchhoff-spennutensorinn \(\boldsymbol{P}\) og annar Piola-Kirchhoff-spennutensorinn \(\boldsymbol{S}\) — eru innleiddir eftir því hvaða stöðu er miðað við fyrir viðmiðunarflöt og kraftvigur. Um skilgreiningar á stöðu, hreyfingu og aflögunarstigli, sjá Hreyfing, aflögun og formbreyting, og um tákn, sjá Táknalisti eðlisfræðilegra stærða.

Cauchy-spennutensor¶

Látum \(\boldsymbol{x}\) vera kraftinn sem verkar á örsmáan flöt í punkti \(d\Gamma\) í núverandi stöðu (flatarmál \(\boldsymbol{n}\), útvísandi einingarþvervigur \(d\boldsymbol{f}\)), og skilgreinum spennuvigurinn \(\boldsymbol{t}\) sem kraft á flatarmálseiningu með \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) er háður bæði staðsetningunni \(\boldsymbol{x}\) og þvervigrinum \(\boldsymbol{n}\). Með því að beita varðveislu skriðþunga á örsmáan fjórflöt fæst að \(\boldsymbol{t}\) er línulegt fall af \(\boldsymbol{n}\), þannig að til er annars stigs tensor \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) þannig að

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

gildir fyrir sérhvern \(\boldsymbol{n}\) (spennusetning Cauchys). Þessi tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) kallast Cauchy-spennutensor og einnig sönn spenna, þar sem hann táknar kraft á flatarmálseiningu miðað við rúmfræði núverandi stöðu. Þátturinn \(\sigma_{ij}\) táknar \(x_j\)-þátt krafts á flatarmálseiningu sem verkar á örsmáan flöt hornréttan á hnitásinn \(x_i\) í núverandi stöðu.

Eins og síðar leiðir af varðveislu hverfiþunga er Cauchy-spennan samhverfur tensor

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

og hefur því sex óháða þætti í þrívídd (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vigrun spennu með Voigt-rithætti byggir á þessari samhverfu (sjá Tensor-ritháttur og stærðfræðilegur grunnur). Cauchy-spenna er notuð fyrir spennuúttak í rúmfræðilega ólínulegri greiningu FrontISTR með Updated Lagrange-aðferðinni og í smáaflögunargreiningu.

Fyrsta og önnur Piola-Kirchhoff-spenna¶

Við endanlegar aflögunir er oft hentugt að lýsa spennu með flötum og vigrum í viðmiðunarstöðunni. Því eru tveir Piola-Kirchhoff-spennutensorar innleiddir. Látum flatarmál örsmás flatar í viðmiðunarstöðunni vera \(d\Gamma_0\) og útvísandi einingarþvervigur hans \(\boldsymbol{N}\).

Fyrsti Piola-Kirchhoff-spennutensorinn (fyrsta PK-spenna, nafngildisspenna) \(\boldsymbol{P}\) er skilgreindur sem spennutensorinn sem fæst þegar krafturinn \(d\boldsymbol{f}\) í núverandi stöðu verkar á örsmáan flöt í viðmiðunarstöðunni:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Með formúlu Nansons \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) og spennusetningu Cauchys fæst sambandið við Cauchy-spennu

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Fyrsta PK-spennan er almennt ósamhverfur tensor.

Annar Piola-Kirchhoff-spennutensorinn (önnur PK-spenna) \(\boldsymbol{S}\) er skilgreindur sem spennutensorinn sem fæst þegar krafturinn \(d\boldsymbol{f}\) í núverandi stöðu er dreginn aftur í viðmiðunarstöðuna með \(\boldsymbol{F}^{-1}\) og látinn verka á örsmáan flöt í viðmiðunarstöðunni:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Bæði kraftvigurinn og verkunarflöturinn eru þá sett fram með stærðum í viðmiðunarstöðunni; tensorinn er óbreyttur gagnvart stífri snúninghreyfingu og samhverfur. Sambandið við fyrstu PK-spennu og umbreytingin frá Cauchy-spennu eru

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Önnur PK-spennan er leidd af ofurteygjanlegu formbreytingarorkufallinu \(W(\boldsymbol{C})\) sem \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) og er í Total Lagrange-aðferðinni notuð með Green-Lagrange-formbreytingunni \(\boldsymbol{E}\) sem vinnusamtengt par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Viðmiðunarstöður og samhverfueiginleikar eru teknir saman í töflunni hér að neðan. Í mörkum smáaflögunar (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) verða spennurnar þrjár eins.

Spennutensor	Viðmiðunarflötur	Kraftvigur	Samhverfa	Notkun
Cauchy-spenna \(\boldsymbol{\sigma}\)	Núverandi staða \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Núverandi staða \(d\boldsymbol{f}\)	Samhverf	Updated Lagrange-aðferð / smáaflögunargreining
Fyrsta PK-spenna \(\boldsymbol{P}\)	Viðmiðunarstaða \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Núverandi staða \(d\boldsymbol{f}\)	Almennt ósamhverf	Jafnvægisjöfnur í viðmiðunarstöðu
Önnur PK-spenna \(\boldsymbol{S}\)	Viðmiðunarstaða \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Viðmiðunarstaða \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Samhverf	Total Lagrange-aðferð / ofurteygjanleiki

Varðveisla massa og skriðþunga og jafnvægisjöfnurnar¶

Látum \(\rho\) vera massaeðlisþéttleika í núverandi stöðu og \(\rho_0\) massaeðlisþéttleika í viðmiðunarstöðunni. Varðveisla massa \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) ásamt umbreytingu rúmmálseiningarinnar \(dv = J\, dV\) leiðir til staðbundna formsins

\[ \rho_0 = J \rho \]

Þetta er staðbundið form massavarðveislu.

Látum \(\boldsymbol{g}\) vera rúmkraft á massaeiningu og \(\boldsymbol{a}\) hröðun. Með því að beita spennusetningu Cauchys og sundurleitnisetningu Gauss á varðveislu skriðþunga (fyrsta hreyfilögmál Eulers) fæst staðbundna jafnvægisjafnan (hreyfijafnan) í núverandi stöðu:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Með því að umrita heildið fyrir viðmiðunarstöðuna með formúlu Nansons og \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) fæst staðbundna formið í viðmiðunarstöðunni:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Formin tvö eru jafngild samkvæmt spennuumbreytireglunni og \(\rho_0 = J\rho\). Sé tregðuliðnum sleppt fæst

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

sem er stöðujafnvægisjafnan og upphafsjafna stöðugreiningar FrontISTR (línulegrar og ólínulegrar).

Varðveisla hverfiþunga og samhverfa spennu¶

Með því að sameina varðveislu hverfiþunga (annað hreyfilögmál Eulers) og jafnvægisjöfnuna úr varðveislu skriðþunga fæst samhverfa Cauchy-spennutensorsins:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Því hefur hann sex óháða þætti í þrívídd. Með því að taka byltingu beggja hliða umbreytingarinnar \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) og nota að \(\boldsymbol{F}\) er andhverfanlegt fæst að önnur PK-spennan er einnig samhverf:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

og hefur því einnig sex óháða þætti. Fyrsta PK-spennan \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) er hins vegar almennt ekki samhverf; aðeins sambandið \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) gildir (þ.e. \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) er samhverft), og hún hefur níu óháða þætti.

Þessi samhverfa er forsenda þess að skrifa spennu sem sex þátta vigur með Voigt-rithætti. Um reglur Voigt-ritháttar og myndun efnisfylkja, sjá Tensor-ritháttur og stærðfræðilegur grunnur og Línuleg teygni.