Hreyfing, formbreyting og formbreytingarstærðir¶

Viðmiðunarstilling og núverandi stilling¶

Skilgreining stillinga¶

Til að greina á milli þess forms í tíma sem lagt er til grundvallar lýsingu eðlisstærða notar þessi handbók tvær stillingar.

Viðmiðunarstilling: óformbreytt lögun við upphaf greiningar (tími \(0\)), einnig kölluð upphafsstilling. Punktur í viðmiðunarstillingunni er táknaður með efnishnitinu \(\boldsymbol{X}\), með rúmmáli \(V\) og yfirborði \(S\).
Núverandi stilling: formbreytt lögun á tíma \(t\). Punktur í núverandi stillingu er táknaður með rúmhnitinu \(\boldsymbol{x}\), með rúmmáli \(v\) og yfirborði \(s\).

Hreyfing er táknuð sem vörpun milli þessara tveggja stillinga, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), og færsla er skilgreind sem \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Táknun eftir stillingu (hástafir/lágstafir)¶

Stafstaða tákns greinir á milli þeirrar stillingar sem eðlisstærð tilheyrir.

Stærðir sem tilheyra viðmiðunarstillingunni eru skrifaðar með hástöfum (til dæmis \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Stærðir sem tilheyra núverandi stillingu eru skrifaðar með lágstöfum (til dæmis \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Stærðir sem ná yfir báðar stillingar, svo sem fyrsta Piola–Kirchhoff-spennan \(\boldsymbol{P}\), nota hefðbundna táknun og eru auðkenndar sérstaklega í textanum eftir þörfum.
Í smáformbreytingarfræði hverfur munurinn milli stillinganna tveggja, þannig að aðeins lágstafatákn (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) eru notuð.

Stiglar viðmiðunar- og núverandi stillingar¶

Táknun og merking eru mismunandi eftir þeirri stillingu sem rúmafleiðan er tekin með tilliti til.

Stigull viðmiðunarstillingar \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): stigull með tilliti til efnishnita. Dæmi: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Stigull núverandi stillingar \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): stigull með tilliti til rúmhnita. Dæmi: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Þeir tengjast með \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Um venjuna fyrir tímaafleiður (efnisbundna tímaafleiðu \(\dot{(\cdot)}\)) sjá Tensoratáknun og stærðfræðilegan grunn.

Lýsing hreyfingar¶

Hreyfivörpun og efnis-/rúmlýsing¶

Ef samfelldur líkami er talinn safn efnispunkta sem merktir eru með stöðu sinni á tíma \(0\), \(\boldsymbol{X}\), tengir hreyfingin efnispunktinn \(\boldsymbol{X}\) við stöðu hans á tíma \(t\), \(\boldsymbol{x}\), með vörpun \(\phi\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Samkvæmt þeirri venju að viðmiðunarstillingin sé upphafsstillingin gildir \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Tvær lýsingar eru aðgreindar eftir vali óháðra breyta.

Efnislýsing (Lagrange-lýsing): lýsir eðlisstærðum sem föllum af \((\boldsymbol{X}, t)\). Í fastfræði er þetta eðlilegt val þar sem viðmiðunarstillingin er gefin sem föst lögun.
Rúmlýsing (Euler-lýsing): lýsir eðlisstærðum sem föllum af \((\boldsymbol{x}, t)\). Þetta er staðlaða lýsingin í straumfræði.

Burðargreining FrontISTR byggir í grunninn á efnislýsingu, en Updated Lagrange-aðferðin notar einnig stærðir í rúmlýsingu vegna þess að núverandi stilling er notuð sem ný viðmiðunarstilling.

Færsla, hraði og hröðun¶

Eins og fram kom í fyrri kafla er færsla \(\boldsymbol{u}\) skilgreind með \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Engin forsenda er gerð um stærð hennar og því er endanleg formbreyting innifalin. Hraða- og hröðunarvigrarnir eru skilgreindir sem efnisbundnar tímaafleiður \(\boldsymbol{u}\) með efnispunktinn fastan:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Þessar jöfnur skilgreina hraða og hröðun.

Formbreytingarstigull og formbreytingartensorar¶

Formbreytingarstigultensor¶

Grundvallarstærðin í samfellusmekaník endanlegra formbreytinga er formbreytingarstigultensorinn \(\boldsymbol{F}\). Hann er línuleg vörpun sem varpar örsmáu línustaki \(d\boldsymbol{X}\) í viðmiðunarstillingu á örsmátt línustak \(d\boldsymbol{x}\) í núverandi stillingu og er skilgreindur sem stigull hreyfivörpunarinnar með tilliti til efnishnita:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Með þessari skilgreiningu (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) er \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) í óformbreyttu ástandi. \(\boldsymbol{F}\) er mikið notað til að skilgreina formbreytingu og spennu og til að umreikna eðlisstærðir milli stillinga.

Rúmmálshlutfall¶

Hlutfall örsmás rúmmáls \(dV\) í viðmiðunarstillingu og samsvarandi örsmás rúmmáls \(dv\) í núverandi stillingu er lýst með rúmmálshlutfallinu \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Umhverfanleiki samfellda miðilsins krefst \(J > 0\). Massavarðveisla er sett fram sem \(\rho_0 = J\rho\).

Hægri og vinstri Cauchy–Green-formbreytingartensorar¶

Þar sem formbreytingarstigullinn \(\boldsymbol{F}\) inniheldur stífan snúning nota mælikvarðar sjálfrar formbreytingarinnar stærðir þar sem stífum snúningi hefur verið eytt. Hægri Cauchy–Green-formbreytingartensorinn \(\boldsymbol{C}\) (viðmiðunarstilling) og vinstri Cauchy–Green-formbreytingartensorinn \(\boldsymbol{b}\) (núverandi stilling) eru skilgreindir sem

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Báðir eru samhverfir tensorar og hafa sömu eigingildi (ferninga höfuðteygjanna). Höfuðóbreytur ofurfjaðurkenndra formbreytingarorkufalla eru settar fram með þessum tensorum.

Formbreytingartensorar¶

Green–Lagrange-formbreytingartensor¶

Sem formbreytingarmælikvarði miðaður við viðmiðunarstillinguna er Green–Lagrange-formbreytingartensorinn \(\boldsymbol{E}\) skilgreindur með

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Hann er samhverfur tensor sem lýsir breytingu innfeldis örsmárra vigra í viðmiðunarstillingunni, er óbreyttur við stífan snúning og uppfyllir \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) í óformbreyttu ástandi. Með \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) fæst

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Þetta setur formbreytinguna fram sem summu fyrsta og annars stigs liða í færslustiglinum; annars stigs liðurinn lýsir rúmfræðilegum ólínuleika. Í Total Lagrange-aðferðinni er hann notaður sem vinnusamhliða parið \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Almansi-formbreytingartensor¶

Sem formbreytingarmælikvarði miðaður við núverandi stillingu er Almansi-formbreytingartensorinn \(\boldsymbol{e}\) skilgreindur með

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Hann tengist Green–Lagrange-formbreytingu með \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (afturvörpun).

Örsmár formbreytingartensor¶

Þegar færslustigullinn er lítill (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)) má vanrækja annars stigs lið Green–Lagrange-formbreytingarinnar. Þar sem munurinn milli stillinganna tveggja hverfur þá færist hún niður í örsmáa formbreytingartensorinn \(\boldsymbol{\varepsilon}\), með stiglinum skrifuðum í rúmhnitum:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR notar þennan formbreytingarmælikvarða fyrir línulega stöðugreiningu, eiginsveiflugreiningu, tíðnisvörunargreiningu og línulega hreyfigreiningu. Greining endanlegra formbreytinga notar \(\boldsymbol{E}\) í Total Lagrange-aðferðinni og formbreytingarhraðatensorinn \(\boldsymbol{D}\) miðaðan við núverandi stillingu í Updated Lagrange-aðferðinni.