Háþróaðar formúlugerðir staka¶

Staðlaða færslumiðaða formúlugerðin sem sett er fram í Formúlugerð þrívíðra rúmstaka sýnir of mikla gervistífleika, svokallaða læsingu (rúmmáls- eða skerlæsingu), þegar henni er beitt á nær óþjappanleg efni eða þunnveggja burðarvirki þar sem beygja ræður ríkjum. Til að forðast þetta býður FrontISTR B-bar- og F-bar-aðferðirnar, sem skipta aðeins út rúmmálshluta B-fylkisins eða aflögunarstigulsins; ósamhæf stök með innri frelsisgráðum; u-p-blönduð stök sem meðhöndla þrýsting sem sjálfstætt óþekkt svið; og MITC-skeljar- og bitastök sem sérhæfð eru fyrir plötu- og bitavirki.

Í þessum kafla eru formúlugerðir þessara háþróuðu staka og burðarstaka teknar saman stak fyrir stak.

B-bar-aðferð¶

Þegar 8-hnúta línulegt sexflötungsstak er notað fyrir nær óþjappanlegt efni getur bjögunarsviðið innan eins staks stangast á við skilyrðið um fast rúmmál og myndað of mikla stífleika sem kallast rúmmálslæsingu. B-bar-aðferðin dregur úr þessari ofskorðun með því að skipta þeim þáttum B-fylkisins sem leggja til rúmmálsþenslu út fyrir gildi metin í miðju staksins [Hughes1980].

Í miðju staksins \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) látum við B-fylkið sem reiknað er út frá rúmafleiðum formfallanna vera \(\bar{\boldsymbol{B}}\); í heildunarpunktinum \(\boldsymbol{r}\) látum við venjulega B-fylkið vera \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Í færslu-bjögunarsambandinu fyrir hnút \(\alpha\) og frelsisgráðu \(i\) er rúmmálsbjögunarþáttunum \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) breytt með því að bæta við

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Fyrir skersþættina \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) er venjulega \(\boldsymbol{B}\) notað. Stífleiki staksins og innri kraftavigur eru sett saman með B-bar-fylkinu sem fæst.

FrontISTR býður þessa formúlugerð sérstaklega fyrir 8-hnúta línulega sexflötungsstakið (stakaauðkenni 361; sjá Númerakerfi staka), og henni má beita á smáaflögun, Total Lagrange og Updated Lagrange.

F-bar-aðferð¶

Við endanlega aflögun kemur rúmmálsbreyting ólínulega inn í gegnum aflögunarstigulinn \(\boldsymbol{F}\). F-bar-aðferðin [deSouzaNeto1996] beitir meðferð gegn rúmmálslæsingu sem samsvarar B-bar-aðferðinni en á stigi aflögunarstiguls.

Látum rúmmálshlutfall aflögunarstigulsins metið í miðju staksins \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) vera \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), og rúmmálshlutfallið í heildunarpunkti vera \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Aflögunarstiglinum í heildunarpunktinum er skipt út fyrir

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Með þessari útskiptingu er notuð tjáningin hér að ofan. Þá fæst \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), þannig að rúmmálshlutfallið um allt stakið er lagað að gildinu í miðju staksins. Hið breytta \(\bar{\boldsymbol{F}}\) er notað við mat á spennu og smíði bjögunar-færslufylkisins, og snertistífleiki staksins inniheldur viðbótarliði sem tengjast þessari breytingu.

FrontISTR útfærir F-bar-aðferðina sérstaklega fyrir 8-hnúta línulega sexflötungsstakið og henni má beita bæði á smáaflögun og Total Lagrange / Updated Lagrange ólínulega rúmfræði.

Ósamhæf stök¶

8-hnúta línulega sexflötungsstakið skortir bjögunarhætti sem nauðsynlegir eru fyrir beygju og sýnir beygjulæsingu í verkefnum þar sem beygja ræður ríkjum. Ósamhæf stök [Taylor1976] bæta við færsluháttum inni í stakinu til að bæta upp þennan skort.

Auk hnútarfærslna staksins \(\boldsymbol{u}^e\) eru kynntar frelsisgráður ósamhæfra hátta \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) sem eru aðeins til inni í stakinu, sem 3 stefnur × 3 hættir á hvert stak, og færslusviðið er nálgað sem

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Færslusviðið er nálgað með tjáningunni hér að ofan. Fyrir náttúrulegu hnitin \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) eru ósamhæfu formföllin tekin sem \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) og \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Þau tryggja ekki samfellu yfir mörk staka en bæta við innra rúmi sem getur endurskapað bjögun tengda beygjuháttum.

Stífleiki staksins er fyrst settur saman í blokkarformi ytri frelsisgráða/innri frelsisgráða

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Eftir samsetningu í þessu formi eyðir kyrrstöðug samþjöppun innri frelsisgráðunum með \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), og þá fæst stífleiki staksins sem inniheldur aðeins ytri frelsisgráðurnar

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

sem er sendur í heildarsamsetningu.

FrontISTR útfærir ósamhæfa stakið sérstaklega fyrir 8-hnúta línulega sexflötungsstakið (C3D8IC), og því má beita á smáaflögun, Total Lagrange og Updated Lagrange.

U-P-blönduð stök¶

Á meðan B-bar- og F-bar-aðferðir leiðrétta rúmmálsþátt innan færslumiðaðs ramma notar u-p-blandaða (U-P) stakið blandaða formúlugerð [Bathe1996] þar sem þrýstingur \(\lambda\) er kynntur sem óþekkt svið óháð færslu. Fyrir nær óþjappanleg efni, svo sem gúmmílík efni með Poisson-hlutfall mjög nálægt 0.5 eða málma eftir plastaflögun, veldur framfylgd skilyrðis um fast rúmmál eingöngu með færslusviðinu rúmmálslæsingu; með því að meðhöndla þrýsting sem sjálfstæða breytu er þetta skilyrði mildað.

Spennunni er skipt í fráviks- og þrýstingsþætti sem

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Þetta er skrifað eins og sýnt er hér að ofan. Hér er \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) fráviksteygjufylkið sem fæst með því að fjarlægja úr teygjufylkinu rúmmálshlutann sem er í hlutfalli við rúmmálsstuðulinn \(K\). Þrýstingurinn \(\lambda\) og rúmmálsbjögunin \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) tengjast með skorðunni í gegnum þjappanleikann \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Dreifing með færslu \(\boldsymbol{u}\) og þrýsting \(\lambda\) sem óþekktum stærðum gefur tengda stakakerfið

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

Þá fæst kerfið hér að ofan, þar sem \(\mathbf{K}_{uu}\) inniheldur fráviksteygjuframlagið og, fyrir endanlega aflögun, rúmfræðilegan stífleika; \(\mathbf{K}_{up}\) tengir rúmmálsbjögun og þrýsting; og \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) er stöðugleikiliður þrýstings (\(\boldsymbol{N}_p\) er þrýstingsformfallið). Þar sem þrýstingsfrelsisgráðurnar eru innri í stakinu,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

er kyrrstöðug samþjöppun framkvæmd í þessu formi og virki stífleikinn sem inniheldur aðeins ytri (færslu-)frelsisgráður er sendur í heildarsamsetningu.

FrontISTR útfærir U-P-stakið sérstaklega fyrir 8-hnúta línulega sexflötungsstakið, með einni þrýstingsfrelsisgráðu á hvert stak (fastri innan staksins). Því má beita á smáaflögun, Total Lagrange og Updated Lagrange. Í Updated Lagrange er fráviksspennan uppfærð með hlutlægum spennuhraða (Jaumann/Hughes-Winget-gerð), og þrýstingurinn \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) er síðan lagður á með gildinu sem fæst með kyrrstöðugri samþjöppun.

Skeljarstök¶

Skeljarstök byggð á Reissner-Mindlin plötu-/skeljafræði eru notuð fyrir þunnveggja plötu- og skeljarvirki. Þegar þykktin minnkar ofmeta lágstigs færslumiðuð plötu-/skeljarstök þverskersbjögun með ferli sem líkist rúmmálslæsingu (skerlæsingu), sem veldur því að stífleiki beygjuhátta eykst óhóflega. MITC-aðferðin (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] forðast þetta með því að endursýna aðeins skersbjögunarþættina í fyrirfram skilgreindum tengipunktum í stakinu og brúa sýndu gildin aftur yfir stakið.

Hnútar MITC-skeljarstaks liggja á miðfletinum og hver hnútur hefur sex frelsisgráður: þrjá færsluþætti og þrjá snúningsþætti um hnitakerfi miðflatarins. Stífleiki staksins er metinn með þrívíðri Gauss-heildun yfir náttúruleg hnit miðflatarins og þykktarstefnuna, og þykktin \(h\) er gefin sem eiginleiki staks við mat efnissambands.

FrontISTR býður MITC3 (stakaauðkenni 731), MITC4 (741) og MITC9 (743), sem eru táknuð með einu miðflatarlagi, auk lagskiptra skeljarstaka MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 hnútar, 3 frelsisgráður á hnút) og MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 hnútar, 3 frelsisgráður á hnút), þar sem hnútum er raðað í tvö lög í gegnum þykktina. Í lagskiptu skeljarstökunum samanstanda hnútfrelsisgráður aðeins af þremur færsluþáttum, en beygjuhættir sem samsvara snúningsfrelsisgráðum eru táknaðir með tveggja laga uppröðuninni.

Bitastök¶

Línulaga burðarhlutar, svo sem bitar og grindarvirki, eru dreifðir með bitastökum. FrontISTR notar Timoshenko-bitaformúlugerð sem tekur tillit til skersaflögunar og lýsir bæði beygju og skeri sem föllum af færslu- og snúningsfrelsisgráðum.

Hver bitahnútur hefur sex frelsisgráður: þrjá færsluþætti og þrjá snúningsþætti um bitaásinn og þverása. Stífleiki staksins er metinn með einvíðri tölulegri heildun eftir bitaásnum. Þverskurðarflatarmálið \(A\) og önnur flatarmálsvægi \(I\) í beygju- og vindingarstefnum eru gefin sem eiginleikar bitasniðs og ásamt Young-stuðlinum \(E\) og skerstuðlinum \(G\) skilgreina þau ás-, beygju-, vindingar- og skerstífleika.

FrontISTR býður 2-hnúta beint bitastak (stakaauðkenni 611) og 4-hnúta fjórflötungs rúm-bita blendingsstak táknað með 3 hnútum (641, fyrir blandaðar frelsisgráður).

Tengd efni¶

Formúlugerð þrívíðra rúmstaka — Samanburður við staðlaða formúlugerð
Númerakerfi staka og formfallasafn — Auðkenni stakagerða
Stakasafn (virkni) — Leiðbeiningar um val hvers staks