Töluleg heildun¶

Innri kraftavigrar staksins \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) og stífleikafylki staksins \(\boldsymbol{K}^e\) sem fást í Strjálun sýndarvinnu innri krafta og Sýndarvinna ytri krafta og samsetning heildarjöfnunnar eru heildi yfir stakasvæðið \(\Omega^e\) eða \(\Omega^e_0\). FrontISTR metur þessi heildi tölulega með Gauss-heildun.

Gauss-heildun og breytuskipti¶

Gauss-heildun nálgar heildi yfir viðmiðunarsvæðið \(\Xi\) með línulegri samantekt gilda heildunarstærðarinnar í heildunarpunktum \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) og vægta \(w_i\). Þegar henni er beitt á stakasvæðið \(\Omega^e\) felur það í sér breytuskipti með vörpuninni \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), sem gefur

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

þar sem \(n_q\) er fjöldi heildunarpunkta og \(J_{\xi_i}\) er determinant Jacobi-fylkis breytuskiptanna. Viðmiðunarsvæðið \(\Xi\) er skilgreint fyrir hverja stakagerð (fyrir sexflötung, \([-1,1]^3\); fyrir þríhyrninga, fjórflötunga og fleyga, samsvarandi viðmiðunarform), og heildunarpunktarnir \(\boldsymbol{\xi}_i\) og vægin \(w_i\) eru gefin í tölulegum töflum. Yfirborðsheildi eru meðhöndluð á sama formi með því að varpa stakafleti frá tvívíðu viðmiðunarsvæði.

Dæmigerður fjöldi heildunarpunkta sem FrontISTR notar er sýndur hér að neðan (fyrir samsvörun við stakagerðir, sjá Stakanúmerakerfi og lögunarfallasafn).

Stakagerð	Heildunarregla	Fjöldi heildunarpunkta
4-hnúta fjórflötungur (`tet4n`)	1-punkts regla	1
10-hnúta fjórflötungur (`tet10n`)	4-punkta regla	4
6-hnúta þríhyrnt prisma (`prism6n`)	2-punkta regla	2
15-hnúta þríhyrnt prisma (`prism15n`)	9-punkta regla	9
8-hnúta sexflötungur (`hex8n`)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-hnúta sexflötungur (`hex20n`)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-hnúta ferhyrningur (`quad4n`)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-hnúta ferhyrningur (`quad8n`)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-hnúta þríhyrningur (`tri3n`)	1-punkts regla	1
6-hnúta þríhyrningur (`tri6n`)	3-punkta regla	3

Fyrir sexflötungs-, ferhyrnings- og línustök eru notuð tensor-margfeldi Gauss-Legendre-reglunnar í hverri hnitastefnu. Þríhyrningar, fjórflötungar og þríhyrnd prismu nota sérstakar reglur sem henta simplex-rúmfræði (punktafyrirkomulag sem heildar margliður nákvæmlega yfir þríhyrninginn sjálfan).

Beiting á heildun staks¶

Við heildun staks eru náttúrulegu hnitin \(\boldsymbol{r}\) notuð sem hnit viðmiðunarsvæðisins (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), og vörpunin yfir í raunhnit er gefin með brúun hnútaeininga með lögunarföllunum. Eftir vali á viðmiðunarstöðu (Rammi aukningargreiningar) eru eftirfarandi form notuð.

Total Lagrangian-aðferð (heildun yfir viðmiðunarstöðuna \(\Omega^e_0\)): vörpunin og Jacobi-determinantinn eru

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

og innri kraftur og stífleikafylki staksins eru nálguð sem

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Öll \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) eru metin í heildunarpunktinum \(\boldsymbol{r}_i\).

Updated Lagrangian-aðferð (heildun yfir núverandi stöðu \(\Omega^e\)): vörpunin og Jacobi-determinantinn eru

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

eru notuð sem nálganir.

Eini munurinn á formunum tveimur er hvort hnit hnútanna sem lögð eru inn í vörpunina eru \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) eða \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); heildunarpunktarnir, vægin og uppbygging lykkjunnar yfir heildunarpunkta eru sameiginleg.

Full heildun og minnkuð heildun¶

Heildun sem notar nægilega marga heildunarpunkta til að heilda margliðugráðu heildunarstærðarinnar nákvæmlega kallast full heildun, en heildun sem notar einu stigi færri heildunarpunkta kallast minnkuð heildun. Minnkuð heildun er notuð til að draga úr sker- og rúmmálslæsingu, en krefst meðhöndlunar á óraunverulegum aflögunarháttum á borð við hourglass-hætti. Fjöldi heildunarpunkta fyrir hverja stakagerð og valið milli fullrar og minnkaðrar heildunar er tekið fyrir í Stakanúmerakerfi og lögunarfallasafn og köflunum þar á eftir, og í Ítarlegar stakaformsetningar.

Tengd efni¶

Rúmafleiður lögunarfalla — Útreikningur Jacobi-fylkisins
Strjálun sýndarvinnu innri krafta — Stærðir sem metnar eru með tölulegri heildun
Ítarlegar stakaformsetningar — Notkun minnkaðrar heildunar