Sýndarvinna ytri krafta og samsetning hnattrænna jafna¶

Í Strjálun sýndarvinnu innri krafta var vinstri hlið veikrar framsetningar færð niður í innri kraftavigur staks \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-aðferð) eða \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-aðferð). Þessi kafli leiðir inn ytri hnútakraftavigur staks \(\boldsymbol{F}^e\) út frá sýndarvinnu ytri krafta og beitir síðan samsetningu, sem endurraðar og safnar hnútastærðum staka eftir hnattrænu hnútnúmeri, þannig að lokum fæst ólínulega jöfnukerfið í hnútfærslum sem ólínuleg burðargreining FrontISTR leysir.

Sundurliðun sýndarvinnu ytri krafta eftir stökum¶

Hægri hlið meginreglu sýndarvinnu má sundurliða stak fyrir stak í sýndarvinnu ytri krafta sem samanstanda af rúmkrafti og fyrirskipuðum yfirborðskröftum á aflfræðilegum mörkum. Til að skrifa færslubrúunina sem kynnt er í Lögunarföllum og endanlegra staka nálgun á fylkjaformi er \(\alpha\)-blokkin \(N_\alpha^e\) skilgreind með lögunarfallinu \(d \times d\) fyrir hnút \(\boldsymbol{N}_\alpha\) á hornalínunni og \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) myndað, þannig að \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Innsetning þessa í sýndarvinnu ytri krafta á viðmiðunarstillingu gefur

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

þar sem ytri hnútakraftavigur staks er raðað sem \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Sýndarvinna ytri krafta færist þannig niður í sama form „hnútavigur staks × prófunarfall“ og innri kraftahliðin (á núverandi stillingu fæst sama form með skiptunum \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) og \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Samsetning hnútastærða staka¶

Hnútastærðirnar \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) sem fást fyrir hvert stak eru safnaðar í hnattræna vigra í röð eftir hnattrænu hnútnúmeri. Í staki \(\Omega^e\) látum hnattræna hnútnúmerið sem samsvarar staðbundnu hnútnúmeri \(\alpha\) vera

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Þá er hnútastærð staks eins og samsvarandi þáttur hnattrænu hnútastærðarinnar (til dæmis \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Þar sem hnútur \(i_g\) er almennt sameiginlegur mörgum stökum er, fyrir hnattrænt hnútnúmer \(i_g\), mengi samsvarandi para \((e, \alpha)\) skilgreint sem

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Með þessu mengi má endurskrifa summuna sem \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) og fá innri hnútakraftinn og hnattræna innri kraftavigurinn yfir alla \(n_g\) hnúta:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Hér er \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) samantekt innri hnútakrafta stakanna sem verka á hnút \(i_g\) og er \(\boldsymbol{0}\) þegar enginn ytri kraftur verkar og jafnvægi er uppfyllt. Sama ferli í UL-aðferðinni gefur \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); þar sem tölugildi þeirra uppfylla \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) er táknið \(\boldsymbol{Q}\) notað hér á eftir nema þegar aðgreining er nauðsynleg. Hnattræni ytri kraftavigurinn \(\boldsymbol{F}\) fæst með sömu samlagningu.

Í útfærslunni er mengið \(\mathcal{E}(i_g)\) ekki smíðað sérstaklega; í staðinn er framlögum bætt við samsvarandi þætti inni í stakalykkjunni.

Frumstilla hnattræna innri kraftavigurinn Q sem 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (fjöldi staka)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Hnattræni ytri kraftavigurinn \(\boldsymbol{F}\) er smíðaður með sama ferli. Sú aðgerð að leggja saman og geyma hnútastærðir staka í vigrum og fylkjum sem númeruð eru eftir hnattrænu hnútnúmeri kallast samsetning. Fyrir annars stigs tensora sem tengjast tveimur hnútnúmerum (svo sem stífleikafylki) fæst sama tegund samsetningar með menginu \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (sjá Snertilstífleikafylki um nákvæma smíði).

Ólínulegar jöfnur sem á að leysa¶

Með því að setja samsettu innri og ytri kraftana inn í meginreglu sýndarvinnu og nota að hún gildir fyrir hvert prófunarfall \(\delta\boldsymbol{u}^n\) sem uppfyllir rúmfræðilegu jaðarskilyrðin fæst

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Í samhengi stigvaxandi greiningar (Rammi stigvaxandi greiningar) er tímaundirvísirinn \(_{n+1}\) settur aftur inn og yfirvísinum \(^n\) sem táknar hnattræna hnútavigurinn sleppt. Jafnan sem leysa skal verður þá

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Strjáluðu jaðargildisverkefni að finna, á tíma \(t_{n+1}\), hnútarfærsluna \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) færist því niður í að leysa þessa ólínulegu jöfnu í færslu ásamt rúmfræðilegu jaðarskilyrðunum. Línugerving jöfnunnar og smíði snertilstífleikafylkisins er lýst í Snertilstífleikafylki, og ítrunarlausnaraðferðinni í Newton–Raphson-aðferð.

Tengd efni¶

Meginregla sýndarvinnu — Upphafspunktur veikrar framsetningar
Rammi stigvaxandi greiningar — Tímaundirvísar og val viðmiðunarstillingar
Lögunarföll og endanlegra staka nálgun — Brúun færslu og prófunarfalla og hnútavigra staka
Strjálun sýndarvinnu innri krafta — Leiðsla innri kraftavigra staka \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\)
Snertilstífleikafylki — Samsetning stífleikafylkis (sama ferli)
Newton–Raphson-aðferð — Ítrunarlausn ólínulegu jafnanna
Listi tákna eðlisstærða