Hoppa yfir í efnið

Strjálun innri sýndarvinnu

Sýndarvinnujafnan við tímann \(t + \Delta t\), sem sett er fram í Rammi fyrir stigvaxandi greiningu, tekur á sig tvö form, Updated Lagrange- og Total Lagrange-formsetninguna, eftir því hvaða viðmiðunarstöðu er valin. Í þessum kafla er nálgun endanlegra staka, sem kynnt er í Formföll og nálgun með endanlegum stökum og Rúmafleiður formfalla, notuð til að strjála innri sýndarvinnu beggja formsetninga í rúmi og fá innri kraftvigra staka \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) og \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Fyrir stak \(e\) látum við hnúta þess vera \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), færslurnar \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), og röðum hnútafærsluvigri staksins sem \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Sýndarfærslan \(\delta \boldsymbol{u}^e\) er skilgreind í sömu röð. Færslan innan staksins er brúuð með formföllunum sem \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Innri sýndarvinna í Updated Lagrange-formsetningunni

Í Updated Lagrange-formsetningunni er núverandi staða \(t\) við tímann \({}^{t}\Omega\) notuð sem viðmiðunarstaða og innri sýndarvinnan er skrifuð með Cauchy-spennunni \(\boldsymbol{\sigma}\) og línulega hluta Almansi-formbreytingarinnar \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) sem

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Hvern þátt \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) má, með hnitum núverandi stöðu \(\boldsymbol{x}\), setja fram sem línulega samantekt af afleiðum formfallanna \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) og sýndarhnútafærslunum \(\delta u^e_{i\alpha}\). Með Voigt-rithætti má safna þessu saman sem

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Hnútablokkinn \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) fæst með því að raða \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) samkvæmt Voigt-reglunni í \(6 \times 3\) fylki, og \(\boldsymbol{B}_L\) er formbreytingar-færslufylkið fyrir UL-formsetninguna. Með því að setja þetta inn í innri sýndarvinnuna og taka \(\delta \boldsymbol{u}^e\) út fyrir fæst

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Fyrir \(\boldsymbol{q}^e\) er hnútablokkinn \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) innri kraftur staksins \(\Omega^e\) sem verkar á hnút \(\alpha\).

Innri sýndarvinna í Total Lagrange-formsetningunni

Í Total Lagrange-formsetningunni er upphafsstaðan \(\Omega_0\) notuð sem viðmiðunarstaða og innri sýndarvinnan er skrifuð með annarri Piola-Kirchhoff-spennunni \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-formbreytingunni \(\boldsymbol{E}\) sem

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Tilbrigðið \(\delta \boldsymbol{E}\) er skipt í lið sem er línulegur í sýndarfærslunni og ólínulegan lið sem inniheldur margfeldi með núverandi færslustigli \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Línulega liðinn má skrifa með því að beita sömu röðunarreglu og í UL-formsetningunni á \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), sem gefur hnútablokkina \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Aðeins afleiðurnar sem fylkið er byggt úr breytast úr \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) í \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) vegna annarrar viðmiðunarstöðu; sama tákn er notað og í UL-formsetningunni. Ólínulegi liðurinn notar margfeldi núverandi færslustiguls \(\partial u_k/\partial X_j\) og \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), raðað samkvæmt Voigt-reglunni til að mynda hnútablokkina \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Því er \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), og \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) er formbreytingar-færslufylkið fyrir TL-formsetninguna. Með því að setja þetta inn í innri sýndarvinnuna fæst

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Hnútablokkinn \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) er innri kraftur staksins \(\Omega^e_0\) sem verkar á hnút \(\alpha\).

Samsvörun UL/TL og reikniferli

Innri kraftvigrar staka í Updated Lagrange- og Total Lagrange-formsetningunum samsvara hvor öðrum á eftirfarandi hátt.

Atriði Updated Lagrange-formsetning Total Lagrange-formsetning
Viðmiðunarstaða Núverandi staða \({}^{t}\Omega^e\) Upphafsstaða \(\Omega^e_0\)
Spennutensor Cauchy-spenna \(\boldsymbol{\sigma}\) Önnur PK-spenna \(\boldsymbol{S}\)
Tilbrigði formbreytingar \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B-fylki \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Innri kraftur staks \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Báðar formsetningar fara í gegnum sama ferli: \(\boldsymbol{B}_L\) er myndað úr rúmafleiðum formfallanna; í TL-formsetningunni er \(\boldsymbol{B}_{NL}\) myndað úr núverandi færslustigli og lagt við; spennan (\(\boldsymbol{\sigma}\) eða \(\boldsymbol{S}\)) er uppfærð samkvæmt efnissambandinu; og \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) eða \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) er tölulega heildað yfir staksviðið í heildunarpunktunum (Töluleg heildun). Að frátöldum skiptum á viðmiðunarstöðu (hnútahnitum og myndun \(\boldsymbol{B}\)-fylkisins) og skiptum á spennutensor er vinnslan sameiginleg, þannig að FrontISTR útfærir útreikning innri krafta fyrir báðar formsetningar með sameiginlegum undirrútínum. Samsetning innri kraftvigra stakanna \(\boldsymbol{q}^e\) og \(\boldsymbol{Q}^e\) í heildar-innri-kraftvigurinn er tekin fyrir í Ytri sýndarvinna og samsetning heildarjafna.

Tengd efni

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status