Rúmafleiður lögunarfallanna¶

Lögunarföllin \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) sem kynnt eru í Lögunarföll og endanleg stakanálgun eru gefin sem föll af náttúrulegu hnitunum \(\boldsymbol{r}\), sem eru staðbundin hnit staks. Hins vegar innihalda heildi í veika forminu, í gegnum tengsl formbreytingar og færslu, hlutafleiður með tilliti til eðlisfræðilegu hnitanna (viðmiðunarstöðu \(\boldsymbol{X}\) eða núverandi stöðu \(\boldsymbol{x}\)), þ.e. \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) eða \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Í þessum kafla er skipulögð aðferð til að reikna þessar rúmafleiður lögunarfalla út frá hnútahnitum staksins og afleiðum með tilliti til náttúrulegra hnita.

Framsetning rúmafleiða með keðjureglunni¶

Með því að beita keðjureglunni á brúunarformúluna \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (fyrri kafli) og nota Jacobi-fylkið \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) fyrir vörpunina frá náttúrulegum hnitum yfir í eðlisfræðileg hnit fæst

Hér eru \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) og \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) fylki þar sem röð \(\alpha\) táknar hlutafleiðuvigur fyrir hnút \(\alpha\); hvort þeirra er \(n_e \times 3\) fylki.

Smíði Jacobi-fylkisins¶

Með því að diffra brúunarformúluna með tilliti til \(\boldsymbol{r}\) fæst

Þannig má smíða Jacobi-fylkið beint úr hnútahnitum staksins \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) og náttúrulegu hnitafleiðunum \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Náttúrulegu hnitafleiðurnar ráðast af fallformi lögunarfallanna og eru fyrirfram útfærðar fyrir hverja stakagerð.

Ákveða Jacobi-fylkisins \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) er notuð í tölulegri heildun til að umbreyta rúmmálsstakinu sem \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Ef ákveðan verður \(0\) er stakið úrkynjað og útreikningurinn mistekst.

Reikniferli¶

Af afleiðingunni hér að ofan má skipta útreikningi rúmafleiðanna \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) í eftirfarandi fjögur stig.

1. Reikna afleiður í náttúrulegum hnitum: Með stakagerðina og náttúrulegu hnit matsstaðarins \(\boldsymbol{r}\) sem inntak er reiknað náttúrulega hnitafleiðufylkið \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Þar sem fallform lögunarfallanna er mismunandi eftir stakagerð greinist vinnslan eftir stakagerð.
2. Reikna Jacobi-fylkið: Úr hnútahnitum staksins \(\boldsymbol{X}^e\) og \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) er Jacobi-fylkið \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) sett saman með jöfnunni í fyrri kafla.
3. Reikna andhverft fylki og ákveðu: Reiknið andhverfa fylkið \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) og ákveðu Jacobi-fylkisins. Ákveðan er notuð sem vog í tölulegri heildun.
4. Reikna rúmafleiður: Úr \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) og \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) fást rúmafleiðurnar \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) sem margfeldi þeirra.

Þessi fjögur stig greinast eftir stakagerð og rúmvídd (tvær eða þrjár víddir), en heildarferlið er sameiginlegt.

Sameiginleg meðhöndlun viðmiðunarstöðu og núverandi stöðu¶

Aðferðinni hér að ofan má einnig beita einfaldlega með því að skipta \(\boldsymbol{X}^e\) út fyrir núverandi hnútahnit \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) til að fá rúmafleiðurnar \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) í núverandi stöðu. Því má nota sömu aðferð fyrir bæði Total Lagrangian- og Updated Lagrangian-framsetningu með því einu að skipta um inntakshnit hnúta.

Tengd efni¶

• Lögunarföll og endanleg stakanálgun — Skilgreining lögunarfalla og hnútahnita staks
• Stakvæðing innri sýndarvinnu — Smíði B-fylkisins úr rúmafleiðum
• Töluleg heildun — Notkun Jacobi-ákveðunnar í Gauss-heildun