Lögunarföll og nálgun með endanlegum stökum¶

Til að meðhöndla veika framsetningu meginreglu sýndarvinnu tölulega er efnisrúminu skipt í endanlegan fjölda staka og hnit efnispunkta, færsla og prófunarfall innan hvers staks brúuð út frá hnútgildum og lögunarföllum. Rúmafleiður lögunarfallanna eru teknar fyrir í Rúmafleiðum lögunarfalla, strjálun veikrar framsetningar í Strjálun innri sýndarvinnu og sértæk form lögunarfalla fyrir hverja stakategund í Númerakerfi staka og safni lögunarfalla og síðari köflum.

Skipting sviðs og summur heilda eftir stökum¶

Sviðið \(\Omega_0\) í viðmiðunarstillingu og sviðið \(\Omega\) í núverandi stillingu eru nálguð sem sammengi stakanna \(\Omega^e_0\) og \(\Omega^e\), í þeirri röð:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) er stakanúmerið og mörk staka eru sameiginleg aðliggjandi stökum.) Þetta sundurliðar rúm- og yfirborðsheildi í meginreglu sýndarvinnu í summur heilda yfir einstök stök:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Sama gildir um núverandi stillingu með skiptunum \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) og \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Hér eftir færist mat veikrar framsetningar niður í að mynda heildi fyrir hvert stak.

Brúun með hnútgildum og lögunarföllum (ísóparametrísk stök)¶

Hverju staki \(\Omega^e_0\) eru úthlutaðir \(n_e\) hnútar. Látum hnit viðmiðunarstillingar og hnútfærslur stakahnúts \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) vera \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Hnútavigrar staks \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) og \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) eru myndaðir með röðun þessara gilda; þeir innihalda aðeins þætti hnútanna sem mynda stakið, dregna út úr hnattrænu hnútavigrunum \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) er heildarfjöldi hnúta), fyrir stak \(e\).

Með náttúrulegu hnitin \(\boldsymbol{r}\), sem eru staðbundin hnit innan staksins, sem færibreytur brúa lögunarföllin \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) efnishnit, færslu og prófunarfall innan staksins með sömu lögunarföllum (ísóparametrískt stak og Galerkin-aðferð):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Lögunarföllin eru mynduð þannig að þau uppfylli eftirfarandi tvo eiginleika og rúmfræði staksins er valin þannig að vörpunin \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) frá náttúrulegum hnitum til efnishnita sé eintæk innan staksins:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) er punkturinn í náttúrulegum hnitum sem samsvarar hnút \(\alpha\) og \(\delta_{\alpha\beta}\) er Kronecker-delta.) Fyrri jafnan tryggir endurgerð stífrrar færslu og sú síðari að brúaða gildið sé jafnt hnútgildinu í hverjum hnút. Sértæk form \(n_e\) og \(N_\alpha^e\) fyrir hverja stakategund eru gefin í Númerakerfi staka og safni lögunarfalla og síðari köflum. Til að forðast þunga táknun er háð stakategundar táknað með yfirvísinum \(e\) fyrir hvert stak.

Með brúunarreglunum hér að ofan má lýsa heildisstofni veikrar framsetningar eingöngu með hnútgildum staks \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) og \(N_\alpha^e\). Formbreyting er hins vegar leidd af brúuðu færslunni og sambandi formbreytingar og færslu, en spenna er leidd af þeirri formbreytingu og efnislögmálinu; þessar stærðir eru ekki brúaðar beint frá hnútgildum. Þær eru metnar í heildunarpunktum innan staksins (Töluleg heildun).

Röðunarregla hnattrænna hnútavigra¶

Eðlisstærðum sem úthlutað er hnútum er raðað í hnattræna hnútavigurinn í hækkandi röð hnútnúmer → frelsisgráða. Fyrir hnút \(\alpha\), ef þáttur frelsisgráðu \(i\) er táknaður með \(u_{i\alpha}\), þá gildir í þrívídd (\(i=1,2,3\)) og tvívídd (\(i=1,2\)), í þeirri röð,

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Hnitin \(\boldsymbol{X}^n\) og prófunarfallið \(\delta\boldsymbol{u}^n\) fylgja sömu röðun. Hér eftir eru leiðslur á fylkja- og vigraformi skrifaðar með þrívíddartilvikið sem dæmigert tilvik.

Tengd efni¶

Meginregla sýndarvinnu — Veik framsetning sem á að strjála
Rúmafleiður lögunarfalla — Myndun Jacobi-fylkis og B-fylkis
Númerakerfi staka og safn lögunarfalla — Lögunarföll fyrir hverja stakategund