Teygjuplast¶

Þessi kafli lýsir ramma teygjuplastíska efnissambandsins sem FrontISTR notar. Fyrir nánari upplýsingar um val og inntaksforskriftir, sjá 03_material í Functions-kaflanum.

Fyrirbæri (plastísk aflögun)¶

Á eftir að útfæra (verður skrifað í næsta áfanga).

Rammi efnissambands¶

FrontISTR notar teygjuplastíska efnissambandsjöfnu sem byggist á tengdri flæðireglu. Efnissambandsjafnan lýsir sambandi milli Jaumann-hraða Kirchhoff-spennu og aflögunarhraðatensors, og aflögunargreiningin notar Updated Lagrange-formið.

Gerum ráð fyrir að flotsskilyrði teygjuplastísks efnis sé gefið þannig.

Upphaflegt flotsskilyrði:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Síðara flotsskilyrði:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

þar sem

\(F\): flotfall
\(\sigma_{y_0}\): upphafleg flotspenna
\(\sigma_y\): síðari flotspenna
\(\sigma\): spennutensor
\(e\): óendanlega lítill formbreytingartensor
\(e^p\): plastískur formbreytingartensor
\(\overline{e}^p\): jafngild plastísk formbreyting

Gert er ráð fyrir að samband flotspennu og jafngildrar plastískrar formbreytingar falli saman við samband spennu og plastískrar formbreytingar í einása ástandi.

Samband spennu og plastískrar formbreytingar í einása ástandi

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

þar sem \(H'\) er formbreytingarherðingarstuðullinn.

Samband jafngildrar spennu og jafngildrar plastískrar formbreytingar

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Almennt er síðara flotfallið fall af hitastigi og plastískri formbreytingarvinnu, en til einföldunar er hér gert ráð fyrir að það sé aðeins fall af jafngildu plastísku formbreytingunni \(\overline{e}^p\). Meðan plastísk aflögun þróast verður \(F = 0\) áfram að gilda og því verður eftirfarandi jafna að vera uppfyllt.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Hér táknar \(\dot{F}\) tímaafleiðu \(F\). Hér eftir er tímaafleiða stærðar \(A\) táknuð með \(\dot{A}\).

Gerum ráð fyrir að plastískur möguleiki \(\Theta\) sé til og lýsum plastíska formbreytingarhraðanum með eftirfarandi jöfnu.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Hér er \(\dot{\lambda}\) stuðull.

Ef enn fremur er gert ráð fyrir að plastíski möguleikinn \(\Theta\) sé jafnt flotfallinu \(F\) er eftirfarandi tengda flæðiregla notuð.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Með því að setja þessa jöfnu inn í samræmisskilyrðið fæst eftirfarandi jafna.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Hér er \(D\) teygjufylkið og

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Teygjuplastíska spennu-formbreytingarsambandið má skrifa þannig.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Þegar flotfall \(F\) teygjuplastíska efnisins er þekkt fæst efnissambandsjafna þess úr þessari segð.

Flotföll¶

Teygjuplastísku flotföllin sem FrontISTR notar eru talin upp hér að neðan.

Von Mises-flotfall¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Hér er \(J_2\) annað óbreytanlegt gildi fráviksspennutensorsins.

Mohr-Coulomb-flotfall¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Hér eru \(\sigma_1, \sigma_3\) hæsta og lægsta aðalspennan, \(c\) er samloðunin og \(\phi\) innra núningshornið.

Drucker-Prager-flotfall¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Hér eru efnisfastarnir \(\alpha\) og \(\sigma_y\) reiknaðir út frá samloðun og núningshorni efnisins þannig.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Tengd efni¶

Línuleg teygni — Teygjanlegt svar (teygjanlegi hluti teygjuplasts)
Snertistífleikafylki — Snertistífleiki fyrir aukningargreiningu sem inniheldur efnisólínuleika
Efnisgögn (aðgerðir) — Valkostir og val flotfalla og herðingarlaga