Línuleg teygni¶

Í þessum kafla er fjallað um efnissamband (lögmál Hookes) fyrir línulega teygin efni. Um val milli líkana og ítarlegar inntaksstillingar, sjá virknihlutann 03_material.

Fyrirbæri (línuleg teygin svörun)¶

Línulega teyginn hlutur er efni sem, á sviði þar sem formbreyting undir álagi er nægilega lítil, sýnir línulegt samband milli spennu og formbreytingar og afturkræfa, söguóháða svörun þar sem öll formbreyting hverfur við afléttingu. Ólíkt plastík eða skriði hefur það engar innri ástandsbreytur, svo sem plastíska eða seiga formbreytingu, og spennan ákvarðast einhlítt af núverandi formbreytingu.

Á smáaflögunarsviðinu eru Cauchy-spennan \(\boldsymbol{\sigma}\) og smáformbreytingin \(\boldsymbol{\varepsilon}\) notaðar; á endanlega aflögunarsviðinu (verkefni með miklum snúningi en þar sem formbreytingin sjálf er lítil) eru önnur Piola-Kirchhoff-spennan \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-formbreytingin \(\boldsymbol{E}\) notaðar (St.Venant-Kirchhoff-efni).

Efnissamband¶

Samsætið línulega teygin efni¶

Á smáaflögunarsviðinu er samsætið lögmál Hookes sett fram með Lamé-fastunum \(\lambda, \mu\) sem

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Í þáttaritun fæst

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

og tvöföld samdráttur við formbreytinguna gefur \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Lamé-fastarnir tengjast Youngs-stuðlinum \(E\) og Poissons-hlutfallinu \(\nu\) sem hér segir:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Með Voigt-rithætti er samband formbreytingarvigursins \(\hat{\varepsilon}\) og spennuvigursins \(\hat{\sigma}\) skrifað \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), og þrívíða efnisfylkið \(D\) er

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Þessi fylkjaframsetning er notuð í útfærslunni.

Réttstefnt línulega teygin efni¶

Fyrir efni þar sem teygjustuðlar eru mismunandi eftir meginásstefnu er notað réttstefnt líkan með níu óháðum föstum: Youngs-stuðlar í meginásstefnunum \(E_1, E_2, E_3\), Poissons-hlutföll milli meginása \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) og skúfstuðlar \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Um nákvæmt form \(D\)-fylkisins, sjá almennar heimildir.

Endanlegt aflögunarsvið: St.Venant-Kirchhoff-efni¶

Fyrir verkefni með miklum snúningi en þar sem formbreytingin sjálf er lítil er St.Venant-Kirchhoff-efnið notað sem línulegt teygjanlegt samband milli annarrar Piola-Kirchhoff-spennu \(\boldsymbol{S}\) og Green-Lagrange-formbreytingar \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Skilgreiningar Lamé-fastanna \(\lambda, \mu\) eru þær sömu og í smáaflögunartilvikinu. Athugið þó að þar sem par spennu og formbreytingar er skilgreint öðruvísi er þetta annað efnissamband en lögmál Hookes fyrir smáaflögun.

Hypoelastic-efni¶

Í Updated Lagrange-aðferðinni er notað hypoelastic-efni sem byggir á línulegu teygjanlegu sambandi milli Jaumann-hraða hlutfallslegs Kirchhoff-spennutensors \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) og aflögunarhraðatensorsins \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Skilgreining \(\boldsymbol{C}\) með Lamé-föstunum er einnig hér sú sama og að ofan, en þar sem par spennu og formbreytingar er annað er þetta sérstakt efnissamband. Um hvernig \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) er uppfærð með tímaheildun (framvirk Euler-heildun og miðlæg mismunanálgun), sjá tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Einföldun fyrir tvívíða greiningu og skelstök¶

Flatarspenna (\(\sigma_{33} = 0\))¶

Fyrir flatarspennu, sem lýsir álagi í þunnum plötum og skeljum, er gert ráð fyrir \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) og notað \(\varepsilon_{33}\) þar sem formbreytingarþátturinn utan plans \(D\) hefur verið felldur brott algebrulega:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Flatarformbreyting (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

Fyrir flatarformbreytingu, sem lýsir þversniði langs burðarvirkis sem er bundið í þykktarstefnu, er gert ráð fyrir \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Ássamhverfa¶

Í ássamhverfri greiningu, sem fjallar um verkefni sem eru einsleit í \((r, \theta, z)\)-stefnu í sívalningshnitum \(\theta\), eru fjórir þættirnir \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) og \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\) varðveittir og

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

fæst.

Skelstök (flatarspenna + þverskúfun)¶

Í skelstökum er spenna í plani meðhöndluð sem flatarspenna. Fyrir þverskúfformbreytingarþættina \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) er auk þess notað \(\kappa\) með skúfleiðréttingarstuðlinum \(\kappa = 5/6\) (almennt \(\kappa\, G\)). Um nákvæma formsetningu hvers staks, sjá Háþróaðar stakaformsetningar. Sú forskrift í virknihlutanum 03_material að „skelstök styðja aðeins línulega teygni“ byggir á þessari einföldun þar sem ástandið í plani er meðhöndlað sem flatarspenna.

Hitastigsháðni¶

Youngs-stuðull \(E\), Poissons-hlutfall \(\nu\) og línulegur varmaþenslustuðull \(\alpha\) eru almennt tilgreind sem föll af hitastigi \(T\). Í FrontISTR eru gildi gefin fyrir endanlega röð hitastigspunkta \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), og hitastigið \(T\) í útreikningi metið með línulegri brúun milli aðliggjandi punkta. Fyrir hitastig utan bilsins (\(T < T_1\) eða \(T > T_n\)) er gildi næsta endapunkts, \(T_1\) eða \(T_n\), notað til framreiknings (fastur framreikningur).

Um hitastigsháðni varma- og varmleiðnieiginleika (eðlismassa, eðlisvarma og varmaleiðni), sjá Varmaeiginleikar. Brúunarreglurnar eru þær sömu.

Tengd efni¶

Tensor-ritháttur og stærðfræðilegur grunnur — Reglur Voigt-ritháttar og hlutverk efnisfylkisins \(D\)
Hreyfing, aflögun og formbreyting — Almennt um aflögunarstigul og formbreytingartensor
Ofurteygjanleiki — Framlenging yfir í afturkræfa svörun með mikilli formbreytingu
Teygjuplastík — Hypoelastic- og plastlíkön með plastískri formbreytingu
Varmaeiginleikar — Eiginleikar sem notaðir eru við tengingu varmleiðni og varmaspennu
Efnisgögn (virkni) — Líkankostir og val