Hoppa yfir í efnið

Línuleg teygin stöðugreining (inngangur)

Hér er sett fram formsetning teyginnar stöðugreiningar sem byggir á smáaflögunarfræði. Gert er ráð fyrir línulegri teygni í sambandi spennu og formbreytingar. Þessi kafli er inngangur að heildarmynd byggingargreiningar með endanlegum stökum og er settur upp sem sjálfstæður kafli.

Um almenna fræði lögmáls sýndarvinnu (form í núverandi stöðu, form í upphafsstöðu og smáaflögunarmörk), sjá Lögmál sýndarvinnu; um línulega teygna efnissambandið, sjá Línuleg teygni; um reglur tensor- og Voigt-ritháttar, sjá Tensor-ritháttur og stærðfræðilegur grunnur; um almenna formsetningu endanlegra aflögunar, sjá Hreyfing, aflögun og formbreyting; og um lausnaraðferðir ólínulegra verkefna, sjá Snertistífleikafylki.

Grunnjöfnur

Við forsendur smáaflögunar og línulegrar teygni samanstendur jaðargildisverkefni í aflfræði fastra efna af jafnvægisjöfnu, aflfræðilegum jaðarskilyrðum og rúmfræðilegum jaðarskilyrðum (grunnjaðarskilyrðum) (sjá mynd 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Hér er \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-spenna, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) rúmkraftur á rúmmálseiningu, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) forskrifaður yfirborðskraftur, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) forskrifuð færsla, og \(S_t, S_u\) eru aflfræðilegu og rúmfræðilegu jaðrarnir.

Jaðargildisverkefni í aflfræði fastra efna (smáaflögunarverkefni)

Mynd 2.1.1 Jaðargildisverkefni í aflfræði fastra efna (smáaflögunarverkefni)

Með samhverfa stigulvirkjanum er samband formbreytingar og færslu

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Línulega teygna efnissambandið er

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

þar sem \(\boldsymbol{C}\) er fjórða stigs teygjanleikatensor.

Lögmál sýndarvinnu

Almenn form lögmáls sýndarvinnu (form í núverandi stöðu, form í upphafsstöðu og smáaflögunarmörk) eru tekin saman í Lögmál sýndarvinnu. Við forsendur smáaflögunar og línulegrar teygni er veika formið

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Með því að setja efnissambandið \eqref{eq:2.1.5} inn og skrifa \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) með Voigt-rithætti fæst formið sem er notað beint við strjálun:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

þar sem \(D\) er teygjanleikafylkið sem skilgreint er í Línuleg teygni. Jöfnur \eqref{eq:2.1.10} og \eqref{eq:2.1.7} mynda lögmál sýndarvinnu sem er strjálað hér að neðan.

Strjálun og samsetning heildarjöfnunnar

Með því að strjála lögmál sýndarvinnu í jöfnu\( \eqref{eq:2.1.10} \) yfir endanlegu stökin fæst

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Fyrir hvert stak er færslusviðið brúað með færslum hnútanna sem mynda stakið, sem hér segir.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Formbreytingin fæst þá með jöfnu\(\eqref{eq:2.1.4}\) sem hér segir.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Með því að setja jöfnur\(\eqref{eq:2.1.12}\) og \(\eqref{eq:2.1.13}\) inn í jöfnu\(\eqref{eq:2.1.11}\) fæst

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Jöfnu \(\eqref{eq:2.1.14}\) má skrifa sem

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Hér má reikna þætti fylkisins og vigursins sem skilgreind eru með jöfnum\(\eqref{eq:2.1.16}\) og \(\eqref{eq:2.1.17}\) fyrir hvert endanlegt stak og setja þá saman með samlagningu.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Þar sem jafna\(\eqref{eq:2.1.15}\) gildir fyrir sérhverja sýndarfærslu \(\delta \boldsymbol{U}\) fæst eftirfarandi jafna.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Færslujaðarskilyrðið í jöfnu\(\eqref{eq:2.1.3}\) er hins vegar sett fram sem

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Með því að leysa jöfnu\(\eqref{eq:2.1.18}\) með haftaskilyrðinu í jöfnu\(\eqref{eq:2.1.19}\) má ákvarða hnútafærsluna \(\boldsymbol{U}\).

Tengd efni

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status