Ólínuleg ítrun og tímaheildun¶

FrontISTR færir lausnina áfram með því að sameina ólínulegar ítranir og tímaheildun í hverju undirskrefi innan aukningarstýringar hvers skrefs. Á þessari síðu er lýst ítrunarbyggingum sem liggja á milli ytri skrefstýringar og innri línulegs leysis: Newton-Raphson-ítrunum, snertiítrunum, tímaheildun fyrir hreyfigreiningu og rammanum fyrir framvindu tíma og ólínulega ítrun í óstöðugri varmaleiðni.

Yfirlit¶

Ólínuleg lausn og tímaheildun innan skrefs hafa hreiðraða byggingu með mörgum lykkjum frá ysta lagi inn á við. Hvert lag hefur eftirfarandi hlutverk.

Hvaða lög koma fyrir ræðst af greiningargerðinni.

Um val á sjálfri snertigerðinni og reikniritinu vísast í Snertingu og innfellingu. Á þessari síðu er lýst hvernig valda reikniritið er skipulagt sem ítrunarlykkja.

Val á lausnarskema¶

Ítrunarbyggingin ákvarðast sjálfkrafa af valinni greiningargerð (Greiningargerðir), því hvort ólínuleiki sé til staðar (rúmfræðilegur ólínuleiki, efnisólínuleiki eða snerting) og snertireikniritinu (SLAGRANGE eða ALAGRANGE). Notandinn stillir beint efri mörk ítrunarfjölda og samleitniskilyrðin.

Eftirfarandi leiðbeiningar gilda við stillingu þessara gilda.

• Í venjulegum greiningum nægir sjálfgefið efra mark ítrunarfjölda almennt. Ef erfitt samleitniverkefni nær hámarksfjölda ítrana án samleitni skal fyrst nota cutback (Skrefstýring); hækkið efra markið aðeins ef það bætir ekki samleitnina.
• Stillið samleitniskilyrðin þannig að jafnvægi náist milli stöðugleika greiningar og reiknitíma. Strangari skilyrði bæta nákvæmni jafnvægis en fjölga ítrunum. Í snertigreiningum og greiningum með Lagrange-margföldurum getur samsetning skilyrða fyrir færsluaukningu eða Lagrange-skilyrða við leifarskilyrðið bætt stöðugleika.
• Fyrir tímaheildunarfæribreytur hreyfigreiningar (Newmark-β-stuðlana) skal byrja með staðlaða samsetningu gilda og stilla þau þegar eiginleikum tölulegrar deyfingar sveiflusvörunar er breytt.
• Fyrir tímaheildunarskema óstöðugrar varmaleiðni skal nota Crank-Nicolson fyrir verkefni með mjúkar hitabreytingar og Backward Euler þegar snöggar breytingar eða langtímastöðugleiki skipta meira máli.

Newton-Raphson-ítrun í kyrrstöðugreiningu¶

Í ólínulegri kyrrstöðugreiningu eru jafnvægisjöfnur sem innihalda rúmfræðilegan eða efnislegan ólínuleika leystar ítrekað með Newton-Raphson-aðferðinni. Hver ítrun fer þannig fram.

1. Metið leifarvigurinn \(\boldsymbol{R}\) fyrir núverandi lausn.
2. Setjið saman snertistífleikafylkið \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Leysið línulega kerfið \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) til að fá færsluleiðréttinguna \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Uppfærið lausnina sem \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Berið saman við samleitniskilyrðin. Ef samleitni hefur náðst lýkur ítruninni; annars er farið aftur í skref 1.

Línulegi leysirinn framkvæmir lausn línulega jöfnukerfisins (skref 3). Um val leysis og forskilyrðingar vísast í Leysi og forskilyrðingu.

Ítruninni er stýrt með skrefstýringarfæribreytum !STEP. Helstu stýrigildi eru eftirfarandi.

Hámarksfjöldi Newton-ítrana sem vísað er til í ákvörðunum um sjálfvirka aukningu og cutback í Skrefstýringu merkir fjölda Newton-ítrana sem lýst er á þessari síðu. Sjálfvirk aukningarstýring eykur tímaaukninguna eftir undirskref sem náði samleitni í fáum ítrunum og minnkar hana eftir undirskref sem þurfti margar ítranir.

Snertiítrun í kyrrstöðugreiningu¶

Í snertigreiningu breytist snertiástandið meðan á ítrun stendur vegna snertingar, aðskilnaðar og rennslis á snertiflötum, þannig að Newton-ítrun er sameinuð uppfærslum snertiástands. Byggingin fer eftir snertilausnarreikniritinu.

Bæði reikniritin hafa leitarlykkju snertiástands yst. Í hverri umferð þessarar lykkju er snertiástandið (snerting/aftenging) metið að nýju eftir að innri Newton-ítrun hefur náð samleitni. Ef ástandið hefur breyst er bygging stífleikafylkisins uppfærð og innri ítrunin keyrð aftur. Lykkjunni lýkur þegar snertiástandið er óbreytt frá fyrri umferð og samleitniskilyrði snertingar (snertikraftur og Lagrange-margfaldari) eru uppfyllt. Efra mark fjölda umferða er tilgreint með MAXCONTITER í !STEP.

Með SLAGRANGE-snertingu eru snertifrelsisgráður felldar inn í línulega kerfið með venjulegri Lagrange-margfaldaraaðferð. Þannig fæst tveggja laga bygging þar sem Newton-ítrun er beint innan leitarlykkju snertiástands. Engin aukin Lagrange-ítrun er notuð.

Með ALAGRANGE-snertingu er aukinni Lagrange-ítrun bætt inn í leitarlykkju snertiástands og Newton-ítrun keyrð þar inni, sem gefur þriggja laga byggingu. Í hverri aukinni Lagrange-ítrun er snertiskorðan metin aftur með samsetningu refsiliðar og Lagrange-margfaldara og nákvæmni skorðunnar bætt stig af stigi. Efra mark fjölda aukinna Lagrange-ítrana er tilgreint með AUGITER í !CONTACT_ALGO.

Stýrigildi fyrir snertiítrun eru eftirfarandi.

Fjöldi snertiítrana sem vísað er til í ákvörðunum um sjálfvirka aukningu í Skrefstýringu merkir fjölda ítrana sem lýst er á þessari síðu, þar með taldar uppfærslur snertiástands. Greiningar þar sem snerting og aðskilnaður gerast oft þurfa gjarnan fleiri snertiítranir, sem hefur einnig áhrif á ákvarðanir um sjálfvirka aukningu og cutback. Um snertigerðir, paraskilgreiningar og val reiknirits vísast í Snertingu og innfellingu. Um lausn línulega kerfisins sem inniheldur snertifrelsisgráður vísast í Leysi og forskilyrðingu.

Tímaheildun í hreyfigreiningu (óbein aðferð)¶

Óbeina aðferðin fyrir hreyfigreiningu notar Newmark-β-aðferðina til að tengja færslu, hraða og hröðun við næsta tíma í hverju tímaskrefi og sameinar þessi tengsl við hreyfijöfnuna til að fá ástandið við tímann \(t + \Delta t\). Stöðugleikaskorðan á tímaskrefið \(\Delta t\) er væg og því má leysa burðarvirkjasvörun sem einkennist af lágtíðniþáttum á skilvirkan hátt.

Eftirfarandi tvær tímaheildunarfæribreytur eru notaðar.

Samsetningin \(\beta = 1/4\) og \(\gamma = 1/2\) kallast meðalhröðunaraðferðin og er staðlað val sem er skilyrðislaust stöðugt og hefur enga tölulega deyfingu. Til að innleiða tölulega deyfingu skal velja \(\gamma\) stærra en \(1/2\). Um stærðfræðileg smáatriði færibreytusamsetninga, stöðugleika og skekkueiginleika vísast í fræðilega handbókina.

Þegar ólínuleiki (rúmfræðilegur ólínuleiki, efnisólínuleiki eða snerting) er til staðar er Newton-ítrun framkvæmd innan hvers tímaskrefs; línulega kerfið er leyst innan ítrunarinnar og ástandið uppfært. Samleitniskilyrðin nota CONVERG og tengd gildi sem eru sameiginleg kyrrstöðugreiningu. Í hreyfigreiningu með snertingu er sama ítrunarbygging og í Snertiítrun í kyrrstöðugreiningu felld inn í hvert tímaskref.

Tímaskrefinu í hreyfigreiningu er fyrst og fremst stýrt með tímaskilyrðum !STEP. Með föstum aukningum tilgreinir !STEP DTIME sem tímaskref og ETIME sem lengd skrefsins. Gildin n_step og t_delta í !DYNAMIC eru meðhöndluð sem sjálfgefin gildi þegar !STEP er sleppt og vegna afturvirks samhæfis. Í óbeinu ólínulegu aðferðinni virkjar !STEP með INC_TYPE=AUTO sjálfvirkar aukningar og cutback og eykur eða minnkar tímaskrefið eftir stöðu Newton- og snertiítrana. Hvort sem notaðar eru fastar eða sjálfvirkar aukningar skal velja tímaskref með bæði samleitni og nauðsynlega nákvæmni í huga.

Tímaheildun í hreyfigreiningu (bein aðferð)¶

Beina aðferðin fyrir hreyfigreiningu notar miðlægu mismunaaðferðina til að reikna ástand næsta tíma beint úr upplýsingum um færslu, hraða og hröðun við fyrri tíma. Þar sem engar samtímis jöfnur eru leystar er reiknikostnaður á hvert skref lítill. Jafnvel þegar ólínuleiki er með er hvert tímaskref eins þreps uppfærsla án Newton-ítrunar.

Tímaskrefið hefur efra mark sem stöðugleikaskilyrði byggt á stysta eiginsveiflutíma kerfisins setur (CFL-skilyrðið). Tímaskref yfir þessu marki veldur því að tölulega lausnin verður sundurleit, þannig að ekki er hægt að nota stór tímaskref eins og í óbeinu aðferðinni. Beina aðferðin er hagstæð fyrir fyrirbæri eins og högg, bylgjuútbreiðslu og háhraðasnertingu þar sem lítil tímaskref eru óhjákvæmileg.

Þegar snerting er með er Forward Increment Lagrange-aðferðin notuð til að leggja á snertiskorður. Snertikraftar eru metnir á hátt sem samræmist eins þreps uppfærslu beinu aðferðarinnar.

Lausnaraðferð fyrir tíðnisvörunargreiningu¶

Tíðnisvörunargreining fær lotubundna stöðuga svörun beint í tíðnisviðinu með sveifluháttasamlagningu. Hún metur svörunina á meðan örvunartíðninni er breytt og þarf ekki að rekja tímasögu með ítrunum. Hvorki ólínulegar ítranir né tímaheildun eru framkvæmdar.

Áður en tíðnisvörunargreining er framkvæmd verður að framkvæma eiginsveiflgreiningu fyrir sama kerfi og draga út nauðsynlegan fjölda eiginsveifluhátta. Aðeins línuleg líkön eru studd; ekki er hægt að framkvæma greininguna þegar rúmfræðilegur eða efnislegur ólínuleiki er virkur. Um stöðu þessarar greiningargerðar vísast í Greiningargerðir.

Framvinda tíma og ólínuleg ítrun í óstöðugri varmaleiðni¶

Óstöðug varmaleiðni hefur eigin tímalykkju sem er að fullu skilgreind innan !HEAT. Tímaskrefinu er stýrt um aðra leið en !STEP og !AUTOINC_PARAM í burðarvirkjagreiningu, og þegar efniseiginleikar eru háðir hitastigi er ólínuleg ítrun framkvæmd innan hvers tímaskrefs.

Tímaheildunarskemað er valið með færibreytunni \(\beta\) í !HEAT.

Tímaskrefinu er stýrt aðlögunarhæft með því að sameina upphaflegt tímaskref, lágmarks tímaskref og hámarks hitabreytingu á skref. Ef hitabreytingin fer yfir DELTMX eftir útreikning á tímaskrefi er tímaskrefið minnkað og skrefið reiknað aftur. Greiningin er stöðvuð ef tímaskrefið fer niður fyrir lágmarks tímaskrefið DTMIN.

Þegar efniseiginleikar eru háðir hitastigi er ólínuleg ítrun framkvæmd innan hvers tímaskrefs. Ítruninni er stýrt þannig.

Stöðug varmaleiðni notar ekki tímaskref; aðeins er framkvæmd ólínuleg ítrun þegar efniseiginleikar eru háðir hitastigi. Þar sem tímastýring varmaleiðnigreiningar er óháð !STEP í burðarvirkjagreiningu skal athuga !HEAT-stillingarnar þegar tímaskrefið er stillt.

Tengd efni¶

• Greiningargerðir — Staða hverrar greiningargerðar.
• Snerting og innfelling — Val snertigerða, paraskilgreininga og lausnarreiknirita.
• Leysir og forskilyrðing — Lausn línulegu samtímis jafnanna sem kallaðar eru innan Newton-ítrunar.
• Skrefstýring — Ytri skrefa-/undirskrefastýring og sjálfvirkar aukningar/cutback.
• Newton-Raphson-aðferðin (fræði) — Framsetning ítrekuðu lausnaraðferðarinnar.
• Samleitniskilyrði (fræði) — Stærðfræðilegar skilgreiningar samleitnivísa.
• Aðferðir hreyfigreiningar (fræði) — Framsetning Newmark-β- og miðlægu mismunaaðferðanna.
• Óstöðug varmaleiðnigreining (fræði) — Framsetning tímaheildunar fyrir varmaleiðni.
• Snertigreining (fræði) — Framsetning Lagrange-margfaldaraaðferðarinnar.
• Lykilorðatilvísun: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.