Provjera na modelu jednostavnog oblika¶

Elastična statička analiza¶

Ova provjera koristi konzolnu gredu diskretiziranu mrežom kao što je prikazano na slici 9.1.1. Analize su provedene za sedam slučajeva, od exA do exG, uz promjenu uvjeta opterećenja kao što je prikazano na slici 9.1.2. Slučaj exG ima iste uvjete opterećenja kao exA, ali koristi izravni rješavač.

Rezultat provjere za svaki uvjet opterećenja prikazan je u tablicama 9.1.1–9.1.7.

Sl. 9.1.1 Primjer mreže konzolne grede (heksaedarski elementi)

	() exA, G: Koncentrirano opterećenje
	(b) exD: Gravitacija
	(c) exB: Površinski raspodijeljeno opterećenje
	(d) exE: Centrifugalna sila
	(e) exC: Volumensko opterećenje
	(f) exF: Toplinsko opterećenje

Nelinearna statička analiza¶

(2-1) exnl1: Geometrijski nelinearna analiza¶

Model provjere za slučaj exI jednak je modelima za slučajeve exA do exG. Slika 9.1.3 prikazuje shematski prikaz modela provjere. Na tom se modelu provodi geometrijski nelinearna analiza. Rezultati provjere prikazani su u tablici 9.1.8.

Nelinearni izračun koristi 10 koraka opterećenja s prirastom opterećenja od 0.1P do konačnog opterećenja 1.0P.

Sl. 9.1.3 Model provjere

(2-2) exnl2: Analiza elastoplastične deformacije¶

Ovaj problem provjere temelji se na National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): testu NL1 organizacije NAFEMS, i provodi analizu elastoplastične deformacije koja uključuje geometrijsku nelinearnost i više zakona očvršćivanja. Slika 9.1.4 prikazuje model analize.

Sl. 9.1.4 Model analize elastoplastične deformacije

(1) Uvjeti provjere

(2) Rubni uvjeti

Svi čvorovi koji ovdje nisu navedeni potpuno su ograničeni. Teorijsko rješenje ovog problema glasi kako slijedi.

Za usporedbu, rezultati izračuna su sljedeći.

Kontaktna analiza (1)¶

Ovaj problem provjere temelji se na kontaktnom patch-test problemu CGS-4 organizacije National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), i ispituje mogućnost kontakta s konačnim klizanjem uz trenje. Slika 9.1.5 prikazuje model analize.

Sl. 9.1.5 Model kontaktne analize

Uvjet ravnoteže za ovaj problem glasi kako slijedi.

U fazi lijepljenja zbog trenja sila trenja je [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] i u sliding-friction stage, to je [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] .

Usporedba rezultata izračuna i analitičkog rješenja prikazana je kako slijedi.

Kontaktna analiza (2): Hertzov kontaktni problem¶

Ova provjera analizira Hertzov kontaktni problem između beskonačno dugog cilindra i beskonačne ravnine. Polumjer cilindra je R=8 mm, a Youngov modul E i Poissonov omjer µ deformabilnog tijela iznose redom 1100 MPa i 0.0. Pretpostavlja se da je kontaktno područje dovoljno malo u usporedbi s polumjerom cilindra te se, uzimajući u obzir simetriju problema, analizira model četvrtine cilindra.

Sl. 9.1.6 Model analize Hertzova kontaktnog problema

(1) Rezultati provjere polumjera kontakta¶

Teorijska formula za izračun polumjera kontakta glasi:

gdje [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] . U ovim uvjetima izračuna, kada je tlak \(F=100\), polumjer kontakta iznosi \(a=1.36\).

Slika 9.1.7 prikazuje ekvivalentne čvorne sile u kontaktnim točkama. Polumjer kontakta dobiva se ekstrapolacijom te raspodjele čvornih sila.

Sl. 9.1.7 Raspodjela ekvivalentnih čvornih sila u kontaktnim točkama

(2) Rezultati provjere maksimalnog posmičnog naprezanja¶

U teorijskom rješenju, na položaju kontakta [ z = 0.78a ] maksimalni shear naprezanje je [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] . U ovim uvjetima izračuna, [ \tau_{\max} = 14.2 ] . Nasuprot tome, [ \tau_{\max} = 15.6 ] .

Sl. 9.1.8 Raspodjela posmičnog naprezanja (maksimalna vrijednost = 15.6)

(3) Modalna analiza¶

Modeli provjere za slučajeve exJ i exK jednaki su modelima za slučajeve exA do exG. Slika 9.1.9 prikazuje shematski prikaz modela provjere. Na ovom se modelu provodi modalna analiza. Izračunavaju se prva, druga i treća svojstvena vrijednost. Slučaj exJ koristi iterativni rješavač, dok slučaj exK koristi izravni rješavač. Rezultati provjere prikazani su u tablicama 9.1.9 do 9.1.12.

Sl. 9.1.9 Model provjere

Vlastite frekvencije konzolne grede dobivaju se iz sljedećih jednadžbi.

prvi mod [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] drugi mod [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] treći mod [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Vrijednosti svojstava modela provjere su

Stoga su svojstvene vrijednosti do trećeg moda sljedeće:

Napomena: u trodimenzijskim (3D) modelima prva i druga vrijednost imaju jednake korijene. Stoga druga vrijednost u tablici predstavlja treću izračunanu vrijednost.

Napomena: u 3D modelima prva i druga vrijednost imaju jednake korijene. Stoga druga vrijednost u tablici predstavlja treću izračunanu vrijednost.

(4) Analiza provođenja topline¶

Zajednički uvjeti za stacionarne analize provođenja topline prikazani su na slici 9.1.10. Pojedinačni uvjeti za slučajeve provjere exM do exT prikazani su na slici 9.1.11. Podjela mreže jednaka je onoj korištenoj za exA.

Rezultati provjere (tablica raspodjele temperature) za svaki slučaj prikazani su u tablicama 9.1.13–9.1.20.

Temperaturna ovisnost toplinske vodljivosti

exM: linearni materijal
exN: zadano tempreature problem
exO: problem koncentriranog toplinskog toka
exP: Problem raspodijeljenog toplinskog toka
exQ: Problem konvektivnog prijelaza topline
exR: Problem prijenosa topline zračenjem
exS: volumen toplina generiranje problem
exT: Problem unutarnjeg zazora

(5) Linearna dinamička analiza¶

U exW provodi se linearna dinamička analiza iste konzolne grede kao u stavci (1). Slika 9.1.12 prikazuje uvjete provjere. Za istu podjelu mreže provjerava se utjecaj vremenskog prirasta na rezultate. Koriste se implicitne i eksplicitne metode vremenske integracije, s vrstama elemenata 361 i 342. Rezultati provjere prikazani su u tablici 9.1.22 i na slikama 9.1.13 do 9.1.15.

Teorijsko rješenje pomaka točke vibracije glasi:

gdje

Uvjeti provjere:

Analiza frekvencijskog odziva¶

U ovoj provjeri provodi se analiza frekvencijskog odziva konzolne grede i potvrđuje usporedbom s rezultatima općenamjenskog komercijalnog rješavača. Model analize i uvjeti provjere prikazani su u nastavku.

analiza uvjeti:

Svojstvene vrijednosti do petog reda i frekvencijski odziv točaka vibracije dobiveni analizom svojstvenih vrijednosti su sljedeći: