Preskoči na sadržaj

Nestacionarna analiza provođenja topline

Ovaj odjeljak prikazuje vremensku diskretizaciju i iteracijsku metodu rješavanja za analizu provođenja topline u čvrstim tijelima metodom konačnih elemenata (FEM). Za upravljačke jednadžbe i granične uvjete kontinuuma pogledajte Jednadžbu provođenja topline.

Diskretizirana jednadžba (polazište)

Diskretizacijom jednadžbe provođenja topline (jednadžba provođenja topline (gov_he_main)) Galerkinovom metodom dobiva se

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

gdje

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Ovdje su \(K\), \(M\), \(F\) i \(N\) redom matrica provođenja topline (uključujući doprinose konvektivnih i radijacijskih graničnih uvjeta), matrica mase, vektor toplinskog opterećenja i matrica funkcija oblika. Definicije simbola svojstava materijala (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) itd.) slijede Jednadžbu provođenja topline.

Vremenska diskretizacija i iteracijsko rješenje

Jednadžba \(\eqref{eq:2.4.8}\) je nelinearna, nestacionarna jednadžba. Primjenom implicitne Eulerove metode za vremensku diskretizaciju, kada je poznata temperatura u trenutku \(t=t_0\), temperatura u trenutku \(t=t_0+\Delta t\) izračunava se sljedećom jednadžbom.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Razmotrimo poboljšanje temperaturnog vektora \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), koji približno zadovoljava jednadžbu \(\eqref{eq:2.4.13}\), kako bi se dobilo preciznije rješenje \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

U tu svrhu najprije izrazimo temperaturni vektor na sljedeći način.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Umnožak matrice provođenja topline i temperaturnog vektora, matrica mase i povezani članovi aproksimiraju se na sljedeći način.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Uvrštavanjem jednadžbi \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) i \(\eqref{eq:2.4.16}\) u jednadžbu \(\eqref{eq:2.4.13}\) te zanemarivanjem članova drugog i višeg reda dobiva se sljedeća jednadžba.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Matrica koeficijenata na lijevoj strani dodatno se aproksimira sljedećom jednadžbom.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Ovdje je \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) tangentna matrica krutosti.

Na kraju se temperatura u trenutku \(t=t_0+\Delta t\) može izračunati iteracijskim proračunima pomoću sljedeće jednadžbe.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Posebno za stacionarnu analizu iteracijski proračuni provode se pomoću sljedeće jednadžbe.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

U nestacionarnoj analizi, budući da se za vremensku diskretizaciju koristi implicitna metoda, izbor vremenskog prirasta \(\Delta t\) općenito nije podložan ograničenju njegove veličine. Međutim, ako je vremenski prirast \(\Delta t\) prevelik, povećava se broj iteracija potrebnih za konvergenciju. Općenito, pretjerano velik vremenski prirast \(\Delta t\) povećava broj iteracija. U implementaciji automatsko upravljanje prirastom prati veličinu vektora reziduala, smanjuje \(\Delta t\) kada je konvergencija spora i povećava \(\Delta t\) kada je broj iteracija malen (→ za pojedinosti pogledajte Upravljanje korakom).

Povezane teme

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status