Analiza frekvencijskog odziva¶

Formulacija problema¶

Analiza frekvencijskog odziva procjenjuje amplitudu i fazu stacionarnog odziva sustava u frekvencijskoj domeni kada se vanjska sila harmonijski mijenja s vremenom. Budući da se jednadžba gibanja obrađuje različito s prigušenjem i bez njega, ovo poglavlje najprije izvodi vlastite modove iz neprigušenih slobodnih vibracija, a zatim ih koristi kao modalnu bazu za razvoj prigušenog harmonijskog odziva.

Neprigušene slobodne vibracije i vlastiti modovi¶

Kada se prigušenje zanemari, jednadžba gibanja glasi

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Razlaganjem pomaka po vlastitim modovima dobiva se

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Uvrštavanjem toga u jednadžbu \(\eqref{eq:2.6.1}\) dobiva se

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

To je generalizirani problem svojstvenih vrijednosti. Numeričke metode rješavanja, uključujući pomaknute inverzne iteracije i Lanczosovu metodu, obrađene su u Modalna analiza. Ovaj odjeljak sažima svojstva dobivenih vlastitih frekvencija i vlastitih modova koja se koriste u kasnijem razvoju harmonijskog odziva.

Realnost vlastitih frekvencija¶

Može se pokazati da je vlastita frekvencija realna kako slijedi. Neka je \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Uzimanje kompleksno konjugirane vrijednosti jednadžbe \(\eqref{eq:2.6.3}\) daje jednadžbu \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Množenjem s \(\overline{U}_J^T\) dobiva se

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

iz Eq.\(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Budući da je matrica mase simetrična pozitivno definitna, za nenulti svojstveni vektor vrijedi

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

vrijedi. Stoga,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

pa je \(\omega_j^2 = \lambda_j\) realan broj.

Ortogonalnost i normalizacija vlastitih modova¶

Ovdje razmotrimo dva različita moda.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Iz toga slijedi

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

i, kada svojstvena vrijednosts su različiti,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Stoga su različiti vlastiti modovi ortogonalni s obzirom na matricu mase. Za isti mod normalizacija s obzirom na matricu mase kao u jednadžbi \(\eqref{eq:2.6.12}\) pojednostavljuje daljnju obradu.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Harmonijski odziv s prigušenjem¶

Zatim se prikazuje formulacija analize frekvencijskog odziva s prigušenjem. Upravljačka jednadžba gibanja zadana je jednadžbom \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Pretpostavlja se Rayleighov oblik člana prigušenja i izražava se jednadžbom \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Koristeći svojstvene vektore dobivene modalnom analizom, vektor pomaka u vremenu t može se razviti kao u jednadžbi \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Pretpostavimo da je član vanjske sile harmonijskog oblika

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Zatim određujemo \(b_{j}(t)\). Budući da jednadžba gibanja u jednadžbi \(\eqref{eq:2.6.13}\) ima oblik prisilnih vibracija,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

vrijedi. Realni i imaginarni dijelovi koeficijenta razvoja \(b_{j}(t)\) dani su jednadžbama \(\eqref{eq:2.6.18}i\) i \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Time se dobivaju traženi koeficijenti harmonijskog odziva.

Povezane teme¶

Modalna analiza — Formulacija temeljnog problema svojstvenih vrijednosti
Metode dinamičke analize — Dinamička analiza u vremenskoj domeni
Vrste analiza — Funkcionalni pregled analize frekvencijskog odziva