Modalna analiza¶

Generalizirani problem svojstvenih vrijednosti¶

Za analizu slobodnih vibracija kontinuuma domena se prostorno diskretizira i modelira kao sustav koncentriranih masa s više stupnjeva slobode, kao na slici 2.3.1. Za problem neprigušenih slobodnih vibracija upravljačka jednadžba (jednadžba gibanja) glasi kako slijedi.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Ovdje je $u$ generalizirani vektor pomaka, $M$ matrica mase, a $K$ matrica krutosti. Neka je prirodna kružna frekvencija $\omega$, neka su $a$, $b$ i $c$ proizvoljne konstante, a $x$ vektor. Definirajmo funkciju

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Druga derivacija ovog izraza jest

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Uvrštavanjem ovih izraza u jednadžbu $\eqref{eq:2.3.1}$ dobiva se

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Odnosno,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

dobiva se.

Dakle, ako je jednadžba $\eqref{eq:2.3.5}$ zadovoljena koeficijentom $\lambda = \omega^2$ i može se pronaći vektor $x$, funkcija $u(t)$ rješenje je jednadžbe $\eqref{eq:2.3.1}$.

Koeficijent $\lambda$ naziva se svojstvenom vrijednošću, a vektor $x$ svojstvenim vektorom. Problem njihova određivanja iz jednadžbe $\eqref{eq:2.3.1}$ naziva se generaliziranim problemom svojstvenih vrijednosti.

Primjer sustava s više stupnjeva slobode u neprigušenim slobodnim vibracijama

Slika 2.3.1 Primjer sustava s više stupnjeva slobode u neprigušenim slobodnim vibracijama

Svojstva matrica i pretpostavke¶

Za generalizirani problem svojstvenih vrijednosti $K x = \lambda M x$ dobiven u prethodnom odjeljku ovaj priručnik pretpostavlja sljedeća svojstva matrica. Te su pretpostavke osnova konvergencije i područja primjenjivosti metode pomaknute inverzne iteracije i Lanczosove metode opisanih u nastavku. Za kompleksnu matricu transponiranje podrazumijeva kompleksno konjugiranje, dok je realna matrica simetrična. Konkretno, za matricu $K$, ako je njezina $ij$-komponenta $k_{ij}$, a kompleksno konjugirana vrijednost $k$ označena s $\bar{k}$, tada

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

vrijedi sljedeći odnos.

U ovom priručniku pretpostavlja se da su matrice simetrične i pozitivno definitne. Pozitivna definitnost znači da su sve svojstvene vrijednosti pozitivne; ekvivalentno, matrica uvijek zadovoljava jednadžbu $\eqref{eq:2.3.7}$ u nastavku.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Pomaknuta inverzna iteracija¶

U strukturnoj analizi konačnim elementima u praksi općenito nisu potrebne sve svojstvene vrijednosti; u mnogim slučajevima dovoljno je nekoliko svojstvenih vrijednosti nižeg reda. HEC-MW je namijenjen problemima velikih razmjera, kod kojih su matrice velike i vrlo rijetke (sadrže mnogo nultih elemenata). Stoga je važno učinkovito izračunati svojstvene vrijednosti modova nižeg reda uzimajući to svojstvo u obzir.

Neka je $\sigma$ donja granica svojstvenih vrijednosti. Jednadžba $\eqref{eq:2.3.5}$ tada se može preoblikovati u sljedeći matematički ekvivalentan oblik.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Ova transformacija ima sljedeća korisna računska svojstva.

Redoslijed modova se obrće.
Svojstvene vrijednosti blizu $\rho$ preslikavaju se u najveće vrijednosti.

U stvarnom računanju često se najprije dobivaju najveće svojstvene vrijednosti. Stoga se, umjesto na jednadžbu $\eqref{eq:2.3.5}$, glavni proračun konvergencije primjenjuje na jednadžbu $\eqref{eq:2.3.8}$, s ciljem da se najprije dobiju svojstvene vrijednosti blizu $\rho$. Ta se tehnika naziva pomaknuta inverzna iteracija.

Lanczosova metoda¶

Razlog primjene (usporedba s Jacobijevom metodom)¶

Među klasičnim metodama dobro je poznata Jacobijeva metoda.

Ta je metoda učinkovita kada je matrica mala i gusta. Međutim, budući da su matrice koje obrađuje HEC-MW velike i rijetke, Jacobijeva metoda se ne upotrebljava; umjesto nje primjenjuje se iterativna Lanczosova metoda.

Algoritam i značajke¶

Metoda koju je C. Lanczos predložio 1950-ih algoritam je za svođenje matrice na trodijagonalni oblik i ima sljedeće značajke.

To je iterativna konvergentna metoda koja može napredovati uz zadržavanje rijetkosti matrice.
Algoritam se uglavnom sastoji od umnožaka matrice i vektora te je vrlo prikladan za paralelizaciju.
Dobro je prilagođen geometrijskoj podjeli domene povezanoj s mrežama konačnih elemenata.
Učinkovit proračun moguć je ograničavanjem broja svojstvenih vrijednosti i raspona modova koji se traže.

Lanczosova metoda polazi od početnog vektora, uzastopno generira ortogonalne vektore i konstruira bazu potprostora. Smatra se bržom od metode potprostora, druge iterativne metode, te se široko primjenjuje u programima konačnih elemenata. Međutim, osjetljiva je na numeričke pogreške koje mogu narušiti ortogonalnost vektora i uzrokovati prekid proračuna. Stoga su mjere protiv takvih numeričkih pogrešaka nužne.

Geometrijsko tumačenje (Krylovljev potprostor)¶

Uvođenjem sljedeće zamjene varijabli u jednadžbi $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

problem se može prepisati kao

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

dobiva se.

Za prikladan vektor $q_0$ primijenite linearnu transformaciju predstavljenu matricom $A$ (vidi sliku 2.3.2).

$Linearna transformacija vektora $q_0$ matricom $A$$

Slika 2.3.2 Linearna transformacija vektora $q_0$ matricom $A$

Transformirani vektor ortogonalizira se unutar prostora koji zajedno razapinje s izvornim vektorom. Odnosno, Gram-Schmidtova ortogonalizacija provodi se kao što je prikazano na slici 2.3.2. Neka dobiveni vektor bude $r_1$. Normirajte ga na jediničnu duljinu kako biste dobili $q_1$ (slika 2.3.3). Iz $q_1$ istim postupkom dobijte $q_2$. U tom je trenutku $q_2$ ortogonalan i na $q_1$ i na $q_0$ (slika 2.3.4). Nastavljanjem istog izračuna dobivaju se međusobno ortogonalni vektori sve do reda matrice.

$Vektor ortogonalan na $q_0$: $q_1$$

Slika 2.3.3 Vektor ortogonalan na $q_0$: $q_1$

$Vektor ortogonalan na $q_1$ i $q_0$: $q_2$$

Slika 2.3.4 Vektor ortogonalan na $q_1$ i $q_0$: $q_2$

Konkretno, Lanczosov algoritam primjenjuje se na niz vektora $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

ili ekvivalentno $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

Gram-Schmidtovom ortogonalizacijom. Taj niz vektora naziva se Krylovljevim nizom, a prostor koji razapinje Krylovljevim potprostorom. Kada se u tom prostoru provodi Gram-Schmidtova ortogonalizacija, svaki novi vektor može se dobiti uporabom dvaju najnovijih vektora. To se naziva Lanczosovim načelom.

Trodijagonalizacija¶

U prethodnoj iteraciji proračun za (i+1)-ti vektor može se zapisati kao

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

gdje

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

U matričnoj notaciji to postaje

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

gdje

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Svojstvene vrijednosti stoga se dobivaju rješavanjem problema svojstvenih vrijednosti trodijagonalne matrice dobivene iz jednadžbe $\eqref{eq:2.3.13}$.

Povezane teme¶

Analiza frekvencijskog odziva — Frekvencijski odziv uporabom rezultata modalne analize
Vrste analiza — Funkcijski pregled modalne analize